4求曲 在点(1,1,1)处的切线及法平面 2x-3y+5z-4=0 方程 解【此曲线为平面与球面相交的圆.类似上题,视x为参 数,先求切向量】 对题设方程两边都对x求导,得 d da 2x+2yax+2dx-3=0, 用加减消元法解此方程组:×①-y×②,得 dx4.5-3x-2 再代入②,又得 dy7.5-5x+2x 5y+3z (1,1,1) 16 故所求切线与法平面方程分别为 z-1 9/16 1/16 9 1 16x+9y-z-24=0. 5.求出曲线x=t,y=t2,x=t3上的点,使在该点的切线平行 于平面x+2y+z=4 解【利用曲线的切向量r与平面的法向量n垂直解之】 因为 r={1,2t,3t2},n={1,2,1}, 而T⊥n,所以数量积为零: n=0,即1+4t+3t2=0, 36
(r+1)(3t+1)=0 1或t 代人得: 1,y=1, 或 y z 所求点为M1(-1,1,-1),与M2( 6.求曲面e-x+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方 程. 解【先求出曲面的法向量n.】记 因为n=(F2(x0,y,z),F(xo,y,xz0),F2(x,y,zn)} y,,e 1}1c2,1,o) 1,2,0}, 故所求切平面与法线方程分别为 (x-2)+2(y-1)=0 即 x十2 4=0; 与 2 7.求曲面ax2+by2+cx2=1在点(xo,y,z)处的切平面及法 线方程 解一与上题类似,先求曲面的法向量 {Fx,Fy,Fx}(略) 解二【利用全微分求该法向量.】因为 2ardx+ 2bydy +2czdz=0 视曲面方程为隐函数z=f(x,y)(即显式),于是 a by 曲面在M0(x0,y,z0)处的法向量
n={-:2,-a 所求切平面与法线方程分别为: ax(x一x0、by 即 ator t boy +ceoe-(axo+ byo+ c20)=0 或 aor t boy+ czot-1=0 u-do yao 8.求椭球面x2+2y2+x2=1上平行于平面x-y+2=0的 切平面方程. 解【关键在于求出切点坐标与曲面的法向量.这里易知法向 量,下面求切点坐标.】记 F(x,y,z)=x2+2y2+z2-1=0 列其法向量 n={2x,4y,2x}=2{x,2y,z}△2m1 又平面的法向量n2={1,-1,2}∥m1,所以 代入椭球面方程 (-2y)2+2y2+(-4y)2=1→y=+√2, 故切点坐标为 √,2√1±2 又题设平面的法向量可视为椭球面及其切平面在点M处的法向 量(读者想像图),故所求切平面方程为 /2 y土 1.2+2 z千 38
即 y+2z千 9.求旋转椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切 平面与xOy面的夹角的余弦 解【两平面的夹角为它们法向量的夹角,此题关键在于求出 切平面的法向量.】记 FO )=3x2+y2+z2-16=0,M 于是椭球面在点M处的法向量 Fx,F,F}|M={6x,2y,2x} 6,-4,6} 2{3,2,一3}△_2m1; 又xO平面的法向量可取为 于是所求方向余弦 Cos a|√3+2+(-3)2,1=√2 10.试证曲面√x+√y+√x=√a(a>0)上任何点处的 切平面在各坐轴上的截距之和等于a 证明【先求切平面的截距式方程】记 F(x,y,z)=√x 0 则曲面及切平面在曲面上任一点M(x0,y,z)处的法向量 1 2 1 于是M处的切平面方程为: ) 即
或 化为截距式,则为 十 w ayo 于是截距之和为 a(√x+√y+√x)=√a·√a=a(得证) 第七节方向导数与梯度 知识要点与考点 L.方向导数【考点】 定义简述为 ≈linf(x+Ax,y+9y-/(x、y, A-0 其中P=|PP1=√Δx2+△y2,P(x,y)与P1(x+△x,y+△y)是射 线l上的两点 定理设z=f(x,y)在P(x,y)可微,为x轴正向到方向l 的转角,则 =a甲+n甲 a cos a+ acos B, 其中aβ为l的方向角 同样地,设=f(x,y,x)在(x,y,z)可微,a、、y为空间射线l 的方向角,类似地可定义方向导数,且 af af cos a+.cos B+3cos 7. 2梯度【考点】 ·40·