f2·x+f3·xz=xf2+xz∫ f·xy=xyf 9.设z=xy+xF(),而u=2,F()为可导函数验证 az az 元十y 证明-y+F(a)+FP(2:(-2 d +xF(u) dy 左式=xy+xF(u)-yF(a)+xy+yF(a) +Lxy+xF(u) 10.设 其中f(x)为可导函数,验证 y2) 1a1 + 证明左式=1 2ryf' (x2-y2) 1f( 2y) y7(x2-y5=y=右式 11.设z=f(x2+y2),其中∫具有二阶导数,菜nx2axay8y 解=f(x2+y)·2x=2xf, 2f+2xf"·2x=2f+4x2f d a 2xf·2y=4xyf" aray a2 2yf(x2+y2)
=2f+2yf·2y=2f+4y2f 或由x、y的对称性直接得:5z=2f+4y2f 12求下列函数的子之子x8(其中∫具有二阶连续偏导 数): (1)z=f(xy,y); (2)x= (3)z=f(xy2,x2y); (4)z=f(sin I, cos y,e+y) 解(1)zx=f!·y+f2·0=yf zx"=yf1·y+0=y2f/1"; f1+y(/1"·x+f12"·1 y x=f1·x+ft·1=xf:+f2, fn"·x+f12"·1)+fa"·x+f2 =x2f1"+2xf12"+f2 (2) f1+f2 f1"+f1 +fa1"+f2 f1"+3f1"+2f2"; f2. f2 x f2 [38+列(/·0+…(-5) (3)x;=f1·y2+f2·2xy=yf1+2xyf2, y2(f1 f12"·2xy)+2yf
+2xy(/a1"y2+f·2xy) yf1"+4xy3f2"+4x2y2f2"+2yf2 xy"=2yf1+y2(f1"·2xy+f12"·x2)+2x/2 +2xy(f2"·2xy+f2"·x2) -=2xyfn+5x'y'f1z +2x3y2+2yf!+2xf2 z,=2xyf1'+xf2, zyy=2xf1+2xy(f1"·2xy+f12"…x2) +f 4x2y2f1"+4x3yf12"+x'f”+2xf1 或由zx"及x、y的对称性直接写出zy (4)2,=cos I.f1'+e*+fa sinx·f1+cosx(f1"osx+f;"e+”) 十e+∫3+e+(3"osx+fs3et) cos2xfu+2e + cos xf13 +e2(z+y)f3 "= rf+e+sfa'; x2”=cosx[f12·(-siny)+f3"et]+ef e+[fa"·(-siny)+f,"e+”] sin cos J12 十 e"COs C e+ sin yf23”+e2(x+”f8"+e+yf3 z=f!·(-siny)+fse+y, cos yf- sin y(-f22sin y +e+yf2s") +er+f3+e+y(-fa2"sin y +ety s3") =sin,yf 22"-2e +sin yfa"+ cos yf, ' +e+yf3 13.设z=f(x,y)的所有二阶偏导数连续,而 2 23·
证明 (击)+1(恋)=(a)+ 及 du du a az as2 证明由+ +古a, ()+(a)-}【a+√3)+(-√3m+门 4(n+35+3+ 又 l 42 3 十 4(am+2√3a ury t 3 3 2 2[(-2}+,] (3x-2√3u2 ry t uyy), t 24
第五节隐函数的求导公式 知识要点与考点 1.一个方程的情形【考点】 F(x,y)=0 d F F(x,y,z)=0 f az Fr ayF 2方程组的情形【老点】 F(x,y,u, v) j=(F, G) FF。 G(x,y,,v)=0 a(,v) a(F,G) F,F|∥F。F acx, v) 3--号2-16.6/66 -号--166/ FF 1(F,G) F. F (t,y) G. G 习题8-5解答 1设siny+e-xy2=0,求2, 解记F(x,y)=siny+e-xy2,则 F=e-y', F cos y-2x 出=-共=ae