并求其绝对误差和相对误差 解记两边长为a与b,它们的夹角为,这里a、b>0,0<0 <90°,则三角形面积S=1/2· absin 8,于是 ds =t(bsin Ada asin Adb+ abcos Bd8), dsi s(bsin 8 da| +asin 81db |+ abcos 8 d01) 取a=63,b=78,0=x/3,|da|=|db|=0.1,|d|=t/180,代人得 S≈ 2·63·78·sin60°=2128(m2); 其绝对误差与相对误差分别为 0=(78 √3 2×0.I+63· 2×0.1 +63·78.1丌 2180 27.6(m2) δ27.55 S2127.82≈1.30% 11.利用全徽分证明:两数之和的绝对误差等于它们各自的 绝对误差之和 证明设x=x+y,两数x、y的绝对误差分别为与,则z 的绝对误差 ax r 1·♂2+1·δ =x+δ,得证 12∵利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相对误 差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和 证明记z=x·y,t=x/y,依次记各变量的绝对误差为 6n,0,,0n,则z与u的相对误差分别为
δ+ x8+|x|, δ,+ It δ, δ+ 8⊥6 y,得证 第四节多元复合函数的求导法则 知识要点与考点 l.多元复合函数求偏导数的链式法则【考点】 与一元复合函数求导数的连锁规则类似,求多元复合函数的 偏导数也有连锁规则(或链式法则),只不过这里要复杂一些,通常 是先画出复合关系的链式草图,便能写出相应的求偏导数的公式, 由于各种情况下的公式太多,不能一一列举,这里只给出一种情 定理设z=f(4,v)在点(u,v)可微(或具有连续偏导数),而 =(x,y)、=以(x,y)都在点(x,y)存在偏导数,则复合函数z fg(x,y),y(x,y)]在(x,y)也存在偏导数,且 ar au dx adx au dy 注意:①复合函数的自变量有几个,则求偏导数的公式就相应 地有几个;链式图中从复合函数到达某自变量的路线有几条,公式 中就有几项相加;每条路线有几段(相当于有几次复合),则每项就 有几个偏导数(或导数)因子相乘
②公式中的复合函数中间变量、自变量只有一个时,求导记 号用等,多于一个时用等,其中又称为全导数 ③当某变元既是自变量又是中间变量时,等表示对自变量 求偏导数而等表示对中间变量求偏导数它们是不能等同的 2.全微分形式不变性【考点】 与一元复合函数类似,多元复合函数的全微分形式也具有不 变性,即 dx+gdy 习题8-4解答 1.设 而L=x+y,7=x-y,求 ar ay de 解 +2y:1=2(u+v)=4x ar ①≈2u·y+2u·(-1)=2(-v)= 2设z=lnv,而u=x,=3x-2,求b az 解 ln(3x-2y)+ x az =2uln· (-2) (3x-2y) 3.设 而x=sint,y=t3,求 解 之dz+ dt ar dt ay d 1·cost+ey·(-2)·3z2 18
2y(cos t-6t2) =emne-z(cos t-6t) 4.设 n(x-y),而x=3t,y=4t3,求 解 3 √1-( I2 5设z= arctan(xy),y=e,求 dz 解【要注意这里x既是中间变量,又是自变量,使用记号时 应予以区别.】 dz a a2 1+(xy)2+1+x2y2 x+1) 1 6.设u 而y= asin r,z=cosx,求 解 du Ju dudy aude dx ax 2+1 acos x'4tIsin x asin x-acos r+acos x+sin x e sin 7.设z= arctan,而x=+v,y=u-v,验证 az ae 证明 x+(,1+1 19
十 az az az 2 2;2 2) 8求下列函数的一阶偏导数(其中∫具有一阶连续偏导数) (1)a=f(x2-y2,e) (2)x= (3)u=f(x, ry, rye) 解【这里要出现抽象函数的偏导数,其中f1、f2、∫3、依次 表示∫对第一、二、三个中间变量的偏导数;它们仍然是各自中间 变量的函数.】 (1)sf1'(x2-y2,e)·2x+f2·ey·y 2xf'+ yeyf2'i f:·(-2y)+f2 y 2yfi'+re"f2' fu f2·0 av f +fa 1 f xf f1!·0+f (3) f1·1+f2·y+f3 f+yf, yzf3'; 20