解x=y2+2xzx;f ∫(0,0,1)=2,f(1,0,2) ∫,=2xy+z2,fy fx(0,-1,0)=0 f=f=(2x)r=0 f(2,0,1) 8.设z=xln(xy),求 a'x 及 axa 解 az a )+1 y az 1 Fe aray 9验证()y-“满足影 2)r=√P+y2+2满足Bx×子,2 ar d 证明(1) kn2 s 右式=一kn2 e - nsin nx=左式. (2) ax +y2+z a ar2 由于r关于x、y、z的对称性,同理可得: 票-”,一二 ∴节十十 a [3r2一(x2+y2+x2)]
第三节全微分及其应用 知识要点与考点 全微分概念【考点】 定义简述为△x=A△x+B△y+o(p)(p=√△x2+△y2)的 线性主部A△x+B△y△dx.这时称z在点(x,y)可微 2可微的必要条件与充分条件【考点】 必要条件:若f(x,y)在P(x,y)可黴=>f在P可导,且A= B 即有 y 充分条件:若f(x,y)在P(x,y的偏导数之、都连续,则f 在P可微 应注意,存在偏导数不一定可徼,三者的关系是 彐偏导数≮可微《彐连续的偏导数⑩ 3·.全微分在近似计算中的应用 z=f(x, y)Ax+f, f(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+f2(x,y)△x+f,(x,y)△y 或∫(x,y)≈∫(x,y)+f2(x。+y)△x+∫(x+y)△y.(2) 可用(1)近似求函数z的增量;用(2)近似计算函数值误差估 计如下:设自变量的绝对误差分别为与δ,则 z|≤|=6.+3δ ①存在连续的偏导数又简称连续可微但不是f(x,y)既连续又可微,是指∫ ∫∈C 12
绝对误差 8.°a/2+/ dy 相对误差 jz z 习题8—3解答 1求下列函数的全微分: (1)z=xy+; (2)z=e2; (3)z= (4)=x3 x ty az 1 ae ac y dy dx+dy =(y+i)dx+( 2)d: dx+-ed (3)dz d y=y/ dr (r2 +y 2)372 y dy) (4)ax -y2.C =x1nx·z de x"n·y du= yzryx-idx zx" In xdy+ yrln adz 2.求函数z=1n(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分, d dx t d 1 13
dx +dy =odx+=d 3求函数x=2当x=2,y=1,△x=0.1,△y=-0.2时的全 增量和全微分 解 y x+△x dx+±d 当x=2,y=1,△x=0.1,△y=-0.2时, 2+0 0.119 0.1+ 0.125. 4.求函数z=e当x=1,y=1,4x=0.15,△y=0.1时的全微 分 解d 'dxtxe"d y e·0.15 1=0.25 5∵计算√(1.02)3+(1.97)的近似值 解构造函数z +y5,则 d 取x=1,y=2,△x=dx=0.02,△y=dy 03,代入计算公式 f(x+△x,y+Δy)≈f(x,y)+fx(x,y)△x+f,(x,y)△y, 得(1.02)3+(1.97)≈√1+23+ 1+2×0.02 32 (-0.03) 3+0.01-0.06=2.95 6·计算(1.97)5的近似值.(n2=0.693.) 解构造函数z=x,则 =yx'dx+ ln xd 取 0.03,△y=dy=0.05,代入计算式,得 14
(1.97)05=2+1·21-1×(-0.03)+2ln2×005 =2-0.03+0.1×0.693=2.0393≈2.039 7·.已知边长为x=6m与y=8m的矩形,如果x边增加 5cm,而y边减少10cm,问这个矩形的对角线的近似变化怎样? 解记对角线为z,则z=√x2+y2,由公式 Az≈dz=f(x,y)Ax+f,(x,y)△y dx t-y [6×0.05+8×(-0.1)] 十8 (0.3-0.8)=-0.05, 可见对角线约减少了5cm 8设有一无盖圆柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1 cm,内高为20m,内半径为4m求容器外壳体积的近似值 解这里体积V=xRh,因为 dV=π(2Rh△R+R2△h), △V≈dV=3.14(2·4·20×0.1+42×0.1) =3.14×(16+1.6)=55.26≈55.3(cm3) 9·.设有直角三角形,测得其两直角边的长分别为7士0.1cm 和24士0.1cm,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差 解这里z=√x2+y2,则斜边长的绝对误差 dz 8, δ+ yI x2+ (7×0.1+24×0.1) 3.1=0.124(cm) 10.测得一块三角形土地的两边边长分别为63士0.1m和 78士0.1m,这两边的夹角为60°士1°试求三角形面积的近似值, 15