2=x+11imim(x2+y)=·1·0=0 6.证明下列极限不存在: (1)limEy (2)lim- 0 y·0 证明【对于重极限,自变量的变化过程,即点P→P的方式 有无穷多种如果其中任意两种方式下求出的极限值不相等,则原 极限不存在】 (1)设动点P(x,y)→P0(0,0)是沿直线y=kx的方式进行 li limx十k k △I(k≠1) 由于k可取不同的数值,于是r=1+不是一个确定的常数故原 极限不存在例如,取k1=-1,则对应的I1=0;取k2=2,则I2= 3≠I1 (2)设动点P(x,y)沿y=kx趋于点P0(0,0),则 kurt 原式=,im0kx+x(1-k)2 0(k≠1) k2x2+(1一k) 但当k=1,即沿y=x的路线让P→P时,又有 原式=lim 所以原极限不存在 7.函数z=y+2在何处是间断的? 解显见,当且仅当y2-2x=0时,此函数是间断的.即沿抛 物线y2=2x,函数都是间断的
8证明,3=0 证明【用重极限的定义或夹逼准则证之.】因为 √x2+y2 2+y2 n√x2+y2 x2十 lOPI, P(r, y)) 于是,e>0,彐δ=2e>0,当0<<δ时,有 <E,∴lim 第二节偏导数 知识要点与考点 1.偏导数的定义及计算法【考点】 定义简述为 f1(x0,y) f(x+△x,y)-f(xo,y) 而fx(x,y)仍是x,y的函数,仍称偏导(函)数,其余类似 算法:把另外的变元视作常数(参数),只对某变无运用一元函 数求导法与公式计算之 几何意义:f(xo,y)为曲面z=f(x,y)与平面y=y的交线 上点M(x0,y,f(x0,y))处切线的斜率 2.高阶偏导数 二级及二阶以上的偏导数统称高阶编导数.其中∫,∫2等 称为混合偏导数 定理若混合偏导数zx与xy都在某区域D内连续,则它们 必相等.即混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,若不特别指
出,我们就认为这些混合偏导数是与求导次序无关的 计算高阶偏导数,一般是用公式或逐阶计算之 习题8-2解谷 1求下列函数的偏导数 (1)z=x3y-y2x; (2) (3)z=√n(xy) (4)z=sin (ry)+cos(ry); (5)2=Intan (6)z=(1+xy); (7)=x (8u=arctan (x-y) 解(1) 3xy-y (2) U b=(a+ (3)a (In tln y)i= 2√n(xy)2x√n(xy az (In x+In y) 2√n(xy)2y√n(xy (4)=cos(xy)·y+2eos(xy)[-sin(xy)·y acos(xy)-ysin(2.xy ); =cos(xy):x+2cos(xy)·[-sin(xy)]·x rcos (ry)-xsin(2xy) x12 sec CsC 2r 2x a sec (6)=y(1+xy)·y=y2(1+xy)2;
y1=(1+xy)?Ln(1+xy)+ az (7)m=yx2 l dy zn t e2 s I dz ar 1+o au ay1+(x-y)2 y az 1+(r-y)a(x-y)ln lr-yi au 2设T=x√4,求证1+g=0 g 证明【先计算,再代入较为复杂的左式验证】 a 2x g g dg g2 lx 左式 0=右式 g 3设x=e(计引),求证x+y2=2 证明-e(+);=1e(l+引), 左式=e-(++e(+=2z=右式 4.设f(x,y)=x+(y-1) arcsin t/x,求∫(x,1) 解fx(x,y)=1+(y-1) y f:(x,1)=1+0=1 9
5.曲线 4’在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是 y 多少 解 ar 4 +0 tga=1,a=/4即为所求 6.求下列函数的 和 axa (1)2=x+yo-4r2y; (2)z=arctan 2; (3)z= 〈1) ax =4x3-8x 态-12-8 子 12y2-8 dy (-2=- az y=1+(y/x)x-x2+y2 y 2 d dx +2y az ak (3) E 1 dy In y+ y r( y+ 1) 7.设f(x,y,2)=xy2+yz2+zx2,求f(0,0,1),fa(1,0,2), ∫n(0,-1,0)及∫x(2,0,1)