26租合數舉問題群解 【解】 a)將(1+x)*及(1-x)·展開得 (1+x) (1-x)” 2n2 兩式左右相加得 (1+x)"+(1-x) x 2 q 其中q n-1,若n鳥奇數 若n鳥0;上式值篇1。 當n>0時,合x-1,得 (2”)=2 0 (b)(1+x) x+· n+1 n+1 n+1·x n 1+x)+1 0 0 n+2 n+2 +2 (1+x) …(n+2)x+2 0 n+2 n-+m (1+)" 0 1+“4/n十m 7+m k 所求即儇上式上端所示之x倸數和,其生成函數( genera ting f unction)氲 ∑(1+x)” (1+x)”一(1+x)…+1 (1+x) 〔(1+x)”++1-(1+x)〕
第二章生成函數27 ∴所求之和即上式之x係數,亦即 ++1 k+1 柬士 (c)x·(1-x (0:() +1,,,4 n 1·(1-x)+1= n十 )x+…+(-1) n+1) n+1 +1 +(-1) 21 2 +…+(-1) 2-1 (-1) 2n 2n 所求即焉上式各2頊之怀數和。八“攻的 2 合A(x)=x2"(1-x)2"+x2-1·(1-x)2…-1+…+x+1·(1-x)·+ 1-x)”+…+x(1 =∑x·(1-x)·(注意:加入低女項並不影誓x Z十1 之係數) 〔x(1-x) 1+x 1+
28粗合数學問題詳解 1+x 1-[x(1-x)2 (1+x)1-[(1-x)J2+1)·〔1 (-1) ,若2nmod3=0 所求焉上式中x2之语数={-1,若2nmot3=1 0,若2nmod3=2 d)(1 2n r. 2m-1 n-1 n 2 n-1 x+…+2 22·(1+x)20222 x+…+22n-2 2n +…422n2 0 所求和即上式各x'之倸數和,其生成函數焉 合A(x)=(1+x)2+2·(1+x)2”-1+22·(1+x) 2”·(1+x)”+2+1(x+1) 22(x+1) (注意:同上例,加入低次項不影響高次項之倸數和) hr 1+ 箕 2 + 1+x 2
第二章生成函彰29 (1+x)2m+1 2 2 〔22+-(1+x)2+1)·(1+x+x2+…+x”+……) 2n+ 式中,x"之係數鳥 不水班 2n+1 5/2n+1 k 2 h=0 (e)合A(x)=(1+x)”=∑ k=(小x B(x)=(1+)-=5(m)x →A(x),Bx)=(1+x)“…=2(n+m)…x 又∑ =ok x中之x保數鳥 0)(x)+(1)(Am)+…+(x)(7) 鳥所求。 故所求即: n+m),其中k三mn(m,n) (f)∑(-1) ∑(-1) 力 =0 i!·(n-i)!(k-1)!(n-k)! ∑(-1) i!·(-i)!·(n-k)!
30粗合數學問題詳解 k I -1) (n一k)!。k!i!·(k一f)! ∑(-1) = ∑(-1) i=0 由(1-x)=∑(-1 合x鳥1, 0,典>0 →>(1-x)=∑(-1) l,k=0 0,k>0,n≥0 ∴∑(-1) 〓0 k-1 1,k=0,n≥0 ((+x)(+()x+…-(x)x x n-1 x2·(1+x)-2= 0 走-2 x2(1+x)” 0 合生成函數 )=∑x2(1+x) 所求即x之怀數: 4(x)=∑x'(