§31容斥原理引论 第三章容斥原理和鸽巢原理 §1容斥原理引论 例[1,20]中2或3的倍数的个数 [解]2的倍数是:2,4,6,8,10, 12,14,16,18,20。10个
第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论 例 [1，20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个 §3.1 容斥原理引论
§32容斥原理 3的倍数是:3,6,9,12,15, 但答案不是10+6=16个,因为6 12,18在两类中重复计数,应 减 去。故答案是:16-3=13
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应 减 去。故答案是：16-3=13 §3.2 容斥原理
§32容斥原理 容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 Demorgan定理论域U,补集A A={x|x∈U且x≠A},有 (a)AUB=A∩B ()A∩B=AUB
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A A{x | xU且x A} ,有 §3.2 容斥原理 (a) A B A B (b) A B A B
§32容斥原理 证:(a)的证明 设x∈∩B,则x函A∪B x∈A∪B相当于xgA和x≠B 同时成立,亦即 A∈A∪B→x∈A∩B(1)
证：(a)的证明。 设 ,则 相当于 和 同时成立，亦即 x A B x A B x AB xA xB AABxAB (1) §3.2 容斥原理
§32容斥原理 反之,若x∈A∩B,即x∈A和x∈B 故x≠A和x≠B亦即x∈A∩B x∈A∩B→x∈A∪B(2) 由(1)和(2)得 x∈A∩B分x∈A∪B (b)的证明和(a)类似,从略
反之，若 x A B, 即x A和x B 故 x A和xB.亦即x AB x A B x A B (2) 由（1）和（2）得 x A B x A B (b)的证明和（a)类似，从略. §3.2 容斥原理