6粗合数學同題詳解 (b)∑r·C(n,r)=∑(r+1).C(n,r+1) rE O ∑n·C(n n∑C(n-1,r) =n·21(得自題4) 6.耠定一個n個,試證在 才、n-1n+1 若n是奇數 R 若磐是偶數 時,C(n,K)有極大值。 【證明】 F(K)= C(n, k+]) n-K C(#,K)K+1 因鳥R(K)震K的單調遞减函數,其中0≤K≤n1,且 R(0)=n,R(n-1)=-,所以 當r是奇黧,R 2 n-1 ∴.R K 2 時C()有砸大恤 當n是偶數,R 21)=”#2且R()n2 K=亏時,C(n,K)有極大值
7.(a)利用組合式尉論證明(2n)!及「3/ 章排列虫租合了 均是整數 (n2)! (b)試證 (n!)+是整數 【證明】: (a)有2n個物體包含n類,每類2個,則 (2n)! 2·即表示此2n個 物體可能的不同排列的個數。 (3n)! 2*·3 的討論力式同上 (b)n個物慢包含n類,每類n個,則這些物體的不同排列方 式有 種 (n!) 接蓍對這些排列方式加以分類,方式如下:若二種排列方式僅 是物體命名上的不同而不同即急一類。 =2為例,1221及2112的排列方式屬於同一類,如此一來 ,每類之内有n!個排列,即共有 n!)*+類,這必定是一個整數。 8.自整數1,2,3,4,………,1000選出三個整數,則使選出整數 的和可被3整除的選法有幾種。 【解】 如同例1-12,可得 2×C(333,3)+C〔334,3)+334(333)2
8粗合數學問題詳解 9.a)在2n個物體中有n個是相同的,求自此2n個物體中選取n個 的方式有種。 (b)在(3n+1)倡物體中有n個是相同的,求自此(3n+1) 物體中選取n個的方式有幾種。 【解】 (a)若選出的物懵中有k個不相同的,則其餘的(n-k)個是相爵 的,所以糖共的理取方式有 ∑(k) =2·種 b)同上的討論 2n+1122/2n+11 ∑ 22m+1=2 10.自n個整數中谬取二粗整數,分别包含k1及k2個整數,其中1 及k2固定且k1十k2<丌,則有幾種選取方式叮使得第一租内的 最小整數比第二組內的最大整數還大。 【解】 任意自n個整數中選取(k1+k2)個整數後,將它們分成台於活 目要求的方式僅有一種,所以共有 方式 1!.假設在凸n邊形中,任意三倏對角粽不在內部共點。試求由n每 形的逊展對角成的三角形有幾個。 【解】 依據禱成三角形的對角線交點及n蠱形頂點的偶敷對:三趙开
第一章排列典合9 分類。 ⑩3個頂點,沒有對角粽交點 任3個頂點可泱定一三角形 (3)個此類三角形 ⑧2個頂點,1個對角線交點 任4個頂點泱定4個三角形 4(4個此類三角形 ③1個頂點,2個對角線交點 任5個頂點可決定5個三角形 5(5)個此類三角形 ④沒有頂點,3個對角線交點 由於沒有3條對角褓共點,所以6個頂 個頂點(3惭對角線)泱定一三角形 有(6)個此類三角形 由①~④可知共有 3)4n (3)+4(4)+5(5)+(6)個三角形
10粗合數粤問题詳解 12.考慮一個由長度焉n的字(word)所成的集合,而每催宇都是由 字母{0,1,2}組成。 a)武證:0出現偶数的字共有 b)證明等式 2 其中若n為倜數,則q=丌;若〃恁奇數,則q=n-1。 【證明】: (a)包含一個0以上或一個1以上的字共有3·-1個(即不包括 222…2)由例19可知這些字的一牛篇包含著偶數個0,再算 人包含客個0而不被算入的222……22 3"+1 ∴包含偶數個0的字有 1 個 (b)包含K個0的字有 2*個 K 将自0到的偶數K對應的(K)2加起來即a)之精果,故 3+1 K K是偶數 13.藉由一通訊管線輸逸含有m個字母的字,於下列冬絛件下,求n 個字母的字能傳多小不同訊息( m essage)? a)字母在同一訊息中可重複出現