第5期 车灯线光源的优化设计方案 {-x-y号- xi+(r-y 若光线可以从H出发经过抛物面上的G到达光屏上的P,则向量和的和与C点 的单位内法向量同向,即向量e和的和与G点的单位内法向量的向量积为0,即 l g 令=1,可以将原方程组化为 xa+"-(1+a)(x+p)]+px。= +a)(z1+p)+p(yo+ d xi+yi 2pz 由于方程组(*)中前三个方程只有两个是独立的,则在前两个方程中可以任意去掉 个,方程组就决定H、P和G三点之间的位置关系。 5.2光线经光屏反射过程的数学描述 在线光源上取一点H(0,r,pP/2),过该点沿单位向量 u,= sina cosB, sina sin B, cosa F 做一条直线交抛物面于G(x1,y1,x1),则 0 2 sina cosB sina sinB 又G在抛物面上,则 =t= pcosa-yi sina sin+vpcos'a-rpsisgsintea)-sin acos Br+p'sin'asin'p 2 则 x,= tsina coss u r t tsina sin B G点的单位内法向量为 lg 则表示反射光线方向的单位向量u2如图2, 图2向量加法示意 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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可知 又 则经抛物面反射的单位向量 2(u:. Lc) 5.3光在传播过程中的发散 光在空间传播时是在整个空间上均匀发散的。我们用光强度量来表示光源在整个空间 发射出去的光能,用光强度量的面密度来度量光发散到某个点在该点产生的光强度。当发 光强度量为Q的点光源发出的光传播到空间某点时,由于光波是球面波,则可知 (h)=x 那么当长度为dr的线光源(当成点光源看)从H发出的光传播到G时,G点所接收到 的光强度为 入dr dI(G)= I GH I 现在讨论光从G反射到P点时光强度的变化情况。在G周围取一个小的面积微元 ds 从方程组(*)中可以确定 则x1,y1对于x,y0的 Jacobi行列式 则可得 dx,dy, I J dxo dy 而 doody。为光屏上的面积微元,记为dS′,即 则可以推出 G点接收到的光强度量 dm(G)=-(a1·l)d(G)ds(取负号是由于和亡。夹角超过90) 又由于dS上的所有光线全反射到dS,即它们两个面积微元上的光强度通量相等 dm(g)=dm(p)=dI(P)dS' dI(P) 1·lc)dS dI(G) 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第5期 车灯线光源的优化设计方案 =-(n1·h)√1+1,+x,|Jid(G) -(u·)√1+21,+x|Jdr 则P点的光强度 +x1,|Jλda (P) 54非线性规划问题 通过以上的分析可以知道B点的光强度为 +z2,|J|λd I(B)=(B) 同理,C点的光强度为 IJad I GH 2 根据题意,本问题的约束条件为 ∫I(B)≥2 我们的目标是使线光源半轴发光的总强度量最小,即 W= AR 那么本问题可以归结为一个求非线性规划最优解的问题 minW= R (站·7)√1+x1+2,JAdr I(B) 3动 2 (1·t)√1+x1,+z,|Jλdr I(C)=(C) 6模型的简化与求解 6.1光源发光的离散化 以上的模型最终是要求解一个非线性规划问题,解这类问题通常需要很大的计算量,而 且很容易陷入局部极小值。现在我们将模型中连续的线光源离散成许多点光源,而且将光 的均匀发散离散化,考虑点光源的光以n条光线的形式对外发散。将光屏也分割成许多小 网格,将经过抛物面反射到屏上各个网格内的光所具有的光强度量进行求和再除以该网格 的面积,定义为该网格内的光强。 若每个离散点光源的长度为△r,则该离散点发出的一条光线可以产生的光强度量 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第20卷 6.2光传播过程中发散的一个近似处理 对于光在传播过程中的散射对射到光屏上后强度的影响模型中是用 Jacobi行列式体现 的。但是这个 Jacobi行列式的表达式是很复杂的,我们给出一种近似处理这种散射影响的 方法。这个近似的简化是在连续条件下考察面积微元得到的,但是这个结果对于离散的模 型同样适用 如图3,一束光线射到曲面上的一个单位法向量为的面积微元S1后反射到一个单位 法向量为的平面上形成一个面积微元S2。由于面积微元很小,我们近似的认为反射光线 沿一个方向射出。 我们进行反向思考,由于S2是S1沿单位向量u2投 影后在单位法向量为i的平面上的投影,那么S2和S1 在l2方向上的投影面积应该是相等的,即 S1(·a2)=S2|a2·计=-S2(2·i(取负 号是由于u2和夹角超过90)S1面上接收到的光 强度量 △m(S1)=-(u1·le)△r(S1)S1 又由于S2和S1上通过的光强度通量相等,即 图3面积微元投影 △m(S1)=△m(S2)=△I(S2)S2 4S2)(a △I(S1)= (lc·u2 光线从线光源上的H到达抛物面上的G点时的光强度根据[53光在传播过程中的发 散]可以得到,光从G传播至P时运用以上方法可以得到 △(P)= △I(G) A(1·z)(n2·i)△ 4x|GH|2(·a2) le){u1-2(2·le)TG]·i△ 4rdP{·[-2(n1·h)} 这时每条光线从H射到P时在P所在网格产生的光强度量 △m(P)=△I(P 味12(…){-2(7)·动r n{·[u1-2(n21·7)]} 那么P点的光强度为 A(u1·){[a1-2(a1·t)z 6.3问题的求解 根据以上对模型的离散简化得到一个离散优化模型 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第5期 车灯线光源的优化设计方案 z){t-2(u·z)亡]· nn{·[-2(1·) 2 (1·2){[山-2(x1·言)]·△ ·[1-2(a1·t)} 为了方便用计算机求解,我们对上面的优化模型进行转化,得到 W=T·R ≥ I(C)=T·Nc≥1 其中,T为每条光线带的光强,NB为打到以B为圆心,以2cm为半径的圆内的光线条数 Nc为打到以C为圆心,以2cm为半径的圆内的光线条数,对于这个问题的求解我们采取分 步等步长搜索的方法。具体步骤如下: 步骤一将线光源细化成许多个小的光源,每个小光源的长度△r=0.01mm。将整个 空间的立体角4x分成n=40000份。在B和C点周围分别做一个半径为2cm的圆。 步骤二将每个小光源发射出的光离散为以40000条光线的形式发射出去,每条可以 射到抛物面上的光线经抛物面反射后会在光屏上打下唯一的一个点。如果该点在以B(或 C)为中心的圆内,就将打在这个区域的光线条数加1。 步骤三首先在R∈(0,30mm)内以为01mm步长对R进行搜索,得到的W-R的图 象如下图4,对图中划在圆圈内部的W-R曲线进行放大,如图5。 总先演 线光源长 图4WR关系图 图5WR关系局部极大图 我们从图中可以看出最优的R出现在1.5mm到3mm区域内。现将进一步搜索的区域 定为R∈[1.5mm,3mm]。 步骤四在区间R∈[1.5mm,3mm]内以0005mm为步长进行搜索,得到和关于线光源 半轴长R图形(如图6)。 利用N、N的值,对优化模型进行求解,得到在R∈[1.5mm,3mm]区间内W-R图 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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