线,如图7 线光源半轴长R(x 图6线光源半径R图形 图7WR关系图 在图中圆圈(即最优化解)附近点W-R-T的数据列表如下 0.0061450.0006020.006 000159410.00058700.0005811 W(e-004)2.6962152.69206 26882.686058512.6820326719645 R(mm) 715 0057700530105005510055 2.68077152.681109 从优化的结果数据,我们得出最优的线光源的半轴长为R=1.695mm。此时这个线光 源的长度2R= 7问题第二问的解答(略) 8设计规范的合理性验证 8.1合理性的分析 本题中涉及到的灯是车的前照灯。前照灯是汽车在夜间行车或在能见度较低的条件 下,为驾驶员提供车道照明的重要设备,所以前照灯必须有足够的发光强度和正确照明区 域。不合格的前照灯会使驾驶员对前方道路情况辨认不清,或者在与来车交会时造成对方 驾驶员目眩等,从而导致事故的发生 合理设计规范应该是在这个规范下做出的最合适的车灯具有以下照明效果 1)车灯正前方为了照亮车道,应该亮度很大。 2)前照灯也要照亮邻道,使驾驶员能清楚把握邻道的情况,故车两侧附近也应该有较 高的亮度。 3)而更远一点的距离,如果太亮的话,就有可能使迎面而来车辆的驾驶员目炫,而使发 生事故的机率加大,故亮度要较低。 8.2设计规范的随机模拟验证 根据以上的合理性分析,我们需要用实验的方法检验这个规范的合理性。我们在以上 做的模型中要求点光源在空间各个方向上产生的光强度是一样的,但是考虑到光在实际传 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第5期 车灯线光源的优化设计方案 播过程中,由于种种因素的影响,会使光源在发光时在各个方向上发光的强度是不一样的。 我们用计算机对线光源经过抛物面反射发光进行随机模拟实验。具体步骤如下 步骤一用 Matlab随机数函数 UNIFRND()产生点光源向空间发射光线的随机单位方 向向量。 步骤二用这些随机单位方向向量对上文已求出的最佳光源发光进行模拟,在离散成 许多小区域组成的光屏上统计每个区域内的光强度。在光屏上作出光强度分布图8 3000、 0 图8光强度分布图 上图中,光屏上某点的光强度用高度来体现,高度越大,亮度越大。从上图可以很明显的看 出来灯的正前方光的强度很大,而且两侧光的强度和正前方相比很小,但是和其他区域相比还是 比较强的,这就从实验的角度验证了这个设计规范的合理性。以下作出该图象的俯视图(图9)。 图9上图的俯视图 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第20卷 从这个图中就可以更直接的看出光屏上各区域光强度的分布。中间部分的很亮可以为 夜间行车提供良好照明,一个车宽附近的区域也较亮,可以清楚看到邻道的情况,更远一点 的距离亮度迅速减弱,这样与来车交会时不易造成对方驾驶员目眩,从而有效地避免事故的 发生。 9模型优缺点分析 对于本题可以建立连续和离散两种模型。前者可以将本题抽象成一个非线性规划问 题,但是求解的过程比较复杂,很容易陷入局部极小值的情况,而且对于问题第二问的求解 没什么帮助,但是优点是如果初值取的好可以很精确的求出本题的结果。后者的优点是对 于算法而言不是很复杂,求解结果很快,同时可以很方便的解决问题第二问,但是求解得到 的结果不是很精确,而且只能给出数值解,并且将光离散成光线以后就不能体现光在传播过 程中的散射。综合以上考虑,我们提出的这个模型既拥有离散模型的优点,又运用一个连续 模型的变换结果,考虑了光在传播过程中的散射,比较精确地刻画了光在传播过程中的散 射 参考文献 [1]方得植编,解析几何[M].北京:高等教育出版社,1986 [2]张以谟编.应用光学(修订本)[M]天津:机械工业出版社,1988 3]张风林孙学珠编.工程光学[M].天津:天津大学出版杜,1988 [4]刘则毅编.科学计算技术与Matb刘则毅[M]北京:科学出版社,2001 [5]章学诚编,解析几何[M].北京:北京大学出版社,1989 [6]中国汽车检测维修网 An Optimal Design of Line Light Source XUE Wu, YANG Ming-he, NI Ran athematical Modeling Tutor gro Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029) Abstract: Firstly, we developed a continuous mathematic model to characterize this problem, It demonstrated how the beam reaches the ion of the paraboloid. It was a nonlinear programming problem. Because it was very difficult to be solved, we simpli- fied it into a discrete model, Based on this model, we wrote a matlab program and got the optimal length of the line light source was 3 9mm, Finally, we applied random simulation to verify that the design scheme was reasonable Keyword: line light source, Jacobi determinant, nonlinear programming, reflection, projection 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第20卷第5期 工程数学学报 Vol 20 No.5 2003年03月 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Mar,2003 文章编号:1005-3085(2003)05-0029-12 车灯线光源的优化设计 王伟叶,姜文华,吴家麒 指导老师:曹沅 (复旦大学数学系,上海200433 编者按:本文的一个有点是能从入射角等于反射角,入射向量,入射点处抛物面的法向量和反射向量共面以及抛物面方 方程出发应用数学软件详细算出光源上一点射向抛物面时,可能有几个反射点(反射光线)可以反射到C 点(类似的B点),尽管没有指出有可能会有三个反射点。本文的另一个优点是能对本文所作的近似假设的合理 性作比较仔细的分析。本文在计算亮区时能用两种方法计算并作了比较。 摘要:本文首先将车前灯线光源的优化设计问题通过合理的假设、近似和数学推理归结为一个求函数最值的模型,进 而通过Malb的符号计算和绘图功能求解。得到了切合实际的解答,其次对该长度的光源在测试屏上产生的反 射光亮斑用两种不同的方法进行了绘制,最后对题中所提及的设计规范进行了分析,阐述了其合理性 在第一个间题上我们将着眼点主要放在从光源上同一点出发经过直射或反射到达屏上某点(B或C)的光 线的条数上,而忽略了其它因素诸如光程及入射角等带来的影响。运用空间解析几何中关于旋转抛物面的知识 分别列出在FAB平面上和不在FAB平面上的反射光必须满足的方程,用 Matlab求符号解,利用反射关系在光源 上的点和镜面上的点之间作对应,进而画出函数图像来分析光线的条数多寡。在明确光源上每一点对光屏上 B、C点的“献后构造合理的目标函数,用Mtab编程计算,画图求最大值。最后我们得到最合理的光源长度 应为382毫米左右 针对第二个问题我们首先建立了三个关于光线传播和光线被截断时必须满足的条件的相关定理,然后采取 了两种各有长处的描绘方法并用 Matlab软件加以实现。其一是描点法,即在光源和抛物面上都每隔一定距离取 出一个点进行计算。其二是线段法,线段法的理论根据是线段在抛物面上一点的反射下,投影在屏上图像仍然 是线段而且保持线段上各点的比例不变,于是可以在镜面上取一些密集的点,将光源通过其中每一点的反射像 叠加,就得到屏上的亮区。两张图在轮廓上是完全一致的,都是长约为6米,高约为2米的纺锤形。而前者在屏 上光的强度方面能观察得更清晰,后者在速度和轮廓清晰度上更占优势 而对第三个问题即该设计规范合理性的分析,我们从三个不同的角度进行了探讨,其一是還遇突发惰况时 汽车司机的反应,其二是在整个空间范围内的光强度,其三是光的强度分布 在模型的评价部分,我们对近似假设的合理性作了量化的分析,在光源长度假设上,我们结合实际对其合理 性作了验证。最后还对模型的优缺点作了分析,并在一定程度上介绍了其推广前景。 关键词:连续模型;函数最值 分类号:AMS(2000)49K35 中图分类号:0224 文献标识码:A 1问题重述(略) 2模型假设 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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工程数学学报 H1.只考虑从光源直接照射或经一次反射照到B、C两点的光线,反射两次以上的光线 不予考虑 H2.经查阅资料后,假设旋转抛物面的反射率为0.95,即经过抛物面一次反射后光强损 失5%。 H.光源视为一条均匀发光的线段,不考虑其粗细 当光源长度一定时,屏上点的光强度与光源功率成正比 H5.光源上所有的点经一次反射后到屏上同一点的光程和入射角视为相同。光源上所 有的点直射到屏上同一点的光程和入射角也视为相同(这条假设的合理性在误差 分析中将提到) H6.光源的长度不能太长(这条假设的合理性将在模型评价中提到) 3符号说明 S:旋转抛物面x2+y2=60z,0≤z≤21.6 F:旋转抛物面的焦点(0,0,15) k:主光轴x=y=0 L:线光源y=0,z=15,-b≤x≤b(长度为2b) B:光屏上的给定点(2600,0,25015) C:光屏上的给定点(1300,0,25015) P:单位长度的功率 fn(b):当P=1时,B点的光强度关于光源长度2b的函数 f(b):当P。=1时,C点的光强度关于光源长度2b的函数 W:线光源的总功率W=2bP (x0,y0,zo):曲面S上的某一点 t:C点的光强度不小于额定值t,B点的光强度不小于额定值2t 4问题分析 当C点的光强度不小于t,B点的光强度不小于2t时,要求光源的功率最小换句话说, 若 我们要求的最小值 Pofc(b)≥t 因为,所以P≥max(2x, n(b)(b),所以2≥m((b)(b)而此处t为一常值 因而只要求b(6)的最小值。或者求m((b)(b)的最大值。 26 5模型的建立 线光源长度计算模型我们先分析光屏上点C的情况。对于线光源上一点M,光线 可以直接从M照射到C,也可以从M经过一次反射照到C,因此光屏上点C的光强度由直射 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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