例：求序列x[n=a[n小-b-n-1]的z变换，并确定收敛域(b>a, b>0,a>0) 解： x[n]=d'4m-b"4-n-1]=x[n]+x2[n 由例1的结果可直接得到： xe-左三a (E>a) 1=-00 X,()=∑x"= z-b (<b) 因为b>a,这样得到 Xe)=X(e)+Xe)=三+三 24(e-9, 2 z-a z-b (z-a)(z-b) a<z<b
例：求序列 x [ n]= a n u [ n]- b n u[- n-1] 的 z变换，并确定收敛域（ b > a, b>0, a>0）。 解： 1 2 [ ] [ ] [ 1] [ ] [ ] n n x n aun bu n x n x n = − −− = + 1 1 () [] ( ) n n z X z x nz z a z a ∞ − =−∞ == > − ∑ 2 2 () [] ( ) n n z X z x nz z b z b −∞ − =−∞ == < − ∑ 由例 1的结果可直接得到： 因为 b >a, 这样得到 1 2 2( ) 2 () () () ( )( ) a b z z z z Xz X z X z z a z b z az b + − = + =+= − − −− azb < <
结论： ★ROC内不包含任何极，点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个z平面 (可能除去z=0和z=0); ★右边序列的ROC为z=R的圆外；R0C:z>a ★左边序列的ROC为z=R,的圆内；ROC:z<a ★双边序列的R0C为R1<Z<R2的圆环
结论： ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ∞）； ★右边序列的ROC为 的圆外； R1 z = ★左边序列的ROC为 的圆内； R2 z = ★双边序列的ROC为 的圆环。 1 R2 R < z < ROC： z > a ROC： z < a
8.2z逆变换 z逆变换有幂级数展开法、部分分式展开法、留数法等。 8.2.1幂级数展开法（长除法) X(e)=∑x[nz" 若x[n为右边序列，则 X(z)=x[0]+x[z+x[2]z2+…>R 若x[n为左边序列，则 X()=x[-1]z+x[-2]z2+…E<R2 对于右边序列，按照z的降幂排列或者z1的升幂排列； 对于左边序列，按照z的升幂排列或者z1的降幂的排列
8.2 z逆变换 8.2.1幂级数展开法（长除法） () [] n n X z xnz ∞ − =−∞ = ∑ 若x[n]为右边序列，则 1 2 1 ( ) [0] [1] [2] X x z x xz x z z R − − =+ + + > L 若x[n]为左边序列，则 2 2 ( ) [ 1] [ 2] X x z x zx z z R =− +− + < L z逆变换有幂级数展开法、部分分式展开法、留数法等。 对于右边序列，按照z的降幂排列或者z-1的升幂排列； 对于左边序列，按照z的升幂排列或者z-1的降幂的排列
1+2z 例8-4：已知X@= 2+21)收敛域为>1， 2)收敛域为<1，分别求上述两种情况下的逆变换x[l。 解：1)>1x[m为右边序列，这时X)的分子与分母 按z的降幂（或x的升幂）次序排列。 1+2z 1+4z-1+7z2+10z3 Xa)= -221+z2 1-2z1+z21+2z -2z1+z2 X)=1+4k+7z2+10e3+=23n+22 z1-22 ∴.x[n]=(3n+1)un] 4z1-8z2+4z3 7z2-4z3 7z2-14z3+7z4 10z-3-7z4
1 1 2 1 2 ( ) 1 2 z X z z z− − − + = − + 例8-4 ：已知 z >1, 2）收敛域为 z <1,分别求上述两种情况下的逆变换x[n]。 1）收敛域为 解：1） x[n] 为右边序列，这时X(z)的分子与分母 按z的降幂（或 z-1的升幂）次序排列。 z > 1 1 1 2 1 2 ( ) 1 2 z X z z z− − − + = − + 12 1 1 2 1 2 12 3 2 3 2 34 3 4 12 12 1 2 4 484 7 4 7 14 7 10 7 zz z z z z z zz z z z z z z z z −− − − − − − −− − − − − −− − − −+ + − + − − + − − + − L 12 3 1 4 7 10 zz z − − − +++ ( ) 1 2 -3 0 1 4 7 10 (3 1) n n X z z z z nz ∞ − − − = =+ + + + = + LL ∑ ∴ =+ xn n un [ ] (3 1) [ ]
2)<1xm为左边序列，这时Xz)的分子与分母 按z的升幂（或z的降幂）次序排列。 2z+5z2+8z3+11z4 2z+1 z2-2z1+12z1+1 X⊙2-2+1 2z1-4+2z 5-2z 5-10z+5z2 8z-5z2 8z-16z2+8z3 X(2)=2z+5z2+8z3+1lz+=∑3n-102 11z2-8z 令-n替换n X(e)=∑-(3n+1)z 1=-00 ∴.x[n]=-(3n+1)[-n-1]
2） x[n] 为左边序列，这时X(z)的分子与分母 按z的升幂（或 z-1的降幂）次序排列。 z < 1 21 1 1 2 2 2 3 2 3 2 12 1 2 42 5 2 5 10 5 8 5 8 16 8 11 8 zz z z z z z z z z zzz z z −− − − −+ + − + − − + − − + − L 23 4 2 5 8 11 zz z z +++ 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 z X z z z− − −+ = − + ( ) 23 4 1 2 5 8 11 (3 1) n n X z zz z z nz ∞ = =+ + + + = − LL ∑ ∴ xn n u n [ ] (3 1) [ 1] =− + − − 令 – n替换n 1 ( ) (3 1) n n X z nz − − =−∞ = −+ ∑