初值问题的 Euler方法 例6.1.1设初值问题 dx (0)=1 试分别用Euer法和改进Euer法求解,并与 精确解y=√+2x进行比较
初值问题的Euler方法 精确解 进行比较。 试分别用 法和改进 法求解 并与 例 设初值问题 y x y y x y dx dy 1 2 Euler Euler , (0) 1 2 6.1.1 = + = = −
初值问题的 Euler方法 解:取h=0.1,计算x∈[0,1上结果,此时 Eer法:yn=yn+035)01.2,) yn+1=yn+(k1+k2) 改进的Euer法1k1=0.1(yn--) 2(xn+0.1 k2=0.1(0Vn+k )(n=0,1,2 +k1 计算结果如下表所示
初值问题的Euler方法 计算结果如下表所示： 改进的 法： 法： 解：取 计算 上结果，此时 = + + = + − = − = + + = + − = = + + ) ( 0,1,2,...) 2( 0.1) 0.1( ) 2 0.1( ( ) 2 1 Euler ) ( 0,1,2,...) 2 0.1( 0.1, [0,1] 1 2 1 1 1 1 2 1 n y k x k y k y x k y y y k k n y x Euler y y y h x n n n n n n n n n n n n n
xEue法y改进的Euer法y精确解 0 10000001.000000 1.000000 0.11.0000001.095909 1.095445 0211918181.184097 1.183216 0312774381266201 1.264911 0413582131.343360 1.341641 0514351331416402 1.414214 061.5089661485956 1.483240 0715803381.552514 1.549193 0816497831616475 1.612452 091.7177791.678166 1.673320 1.01.7847701737867 1.732051
x Euler法y 改进的Euler法y 精确解 0 1.000000 1.000000 1.000000 0.1 1.000000 1.095909 1.095445 0.2 1.191818 1.184097 1.183216 0.3 1.277438 1.266201 1.264911 0.4 1.358213 1.343360 1.341641 0.5 1.435133 1.416402 1.414214 0.6 1.508966 1.485956 1.483240 0.7 1.580338 1.552514 1.549193 0.8 1.649783 1.616475 1.612452 0.9 1.717779 1.678166 1.673320 1.0 1.784770 1.737867 1.732051
6.1.2误差概述 显式单步法一般形式为 y+(rn,yn,h) 而隐式单步法一般形式为 yn+I=y,+ho(rn, yn,xn+l,yn+I, h 函数与f(x,y)有关,称为增量函数
6.1.2 误差概述 函数 与 有关，称为增量函数。 而隐式单步法一般形式为 显式单步法一般形式为 ( , ) ( , , , , ) ( , , ) 1 1 1 1 f x y y y h x y x y h y y h x y h n n n n n n n n n n + + + + = + = +
误差概述 定义611从初值v(x)=y出发,由单步法显式 或隐式逐步计算,得xn的值yn12则en1=y(xn1)-yn 称为在点xn上的整体截断误差。如果第n步在点x,的 值计算没有误差,即yn=y(xn),由单步法计算出yn1 则Tn=y(xm)-yn,称为点xn1上的局部截断误差
误差概述 则 称为点 上的局部截断误差。 值计算没有误差，即 由单步法计算出 称为在点 上的整体截断误差。如果第 步在点 的 或隐式逐步计算，得 的值 则 定义 从初值 出发，由单步法显式 1 1 ~ 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ) , ( ), , , ( ) 6.1.1 ( ) + + + + + + + + + + + = − = = − = n n n n n n n n n n n n n n T y x y x y y x y x n x x y e y x y y x y