初值问题的 Euler方法 如果取以上两式的算术平均值的结果,则得 n=yn+[f(x,y)+f(xn+1y+1)(n=01,2 称为梯形公式。 计算y时常用以下迭代式: ym=yn+ hf(n, yn) yH1=yn+[f(xn,yn)+(xm)(k=012(3) (k+1) h+1 E时取 k+1) n+1
初值问题的Euler方法 ( 1) 1 1 ( 1) ( ) 1 ( ) 1 1 ( 1) 1 (0) 1 1 1 1 | | , 3 [ ( , ) ( , )] 0,1,2,... 2 ( , ) [ ( , ) ( , )] 0,1,2,... 2 + + + + + + + + + + + + + − = + + = = + = + + = k n n k n k n k n n n n n k n n n n n n n n n n n n y y y y f x y f x y k h y y y y hf x y y f x y f x y n h y y 当 时 取 （ ） （ ） 计算 时常用以下迭代式： 称为梯形公式。 （ ） 如果取以上两式的算术平均值的结果，则得
初值问题的 Euler方法 定理61.1设函数f(x,y)对变量y满足 Lipschi 条件,L为ch常数。如果步长满足0M∠, 2 即h<时,则由(3)产生的序列{y6}(k=0,1,2 L 收敛
初值问题的Euler方法 收敛。 即 时，则由（ ）产生的序列 条件， 为 常数。如果步长 满足 定理 设函数 对变量 满足 3 { } ( 0,1,2...) 2 1, 2 Lipschitz 0 6.1.1 ( , ) y Lipschitz ( ) 1 = + y k L h hL L h f x y k n
初值问题的 Euler方法 证明:由式(2)和(3)有 (k+1) |f(xn+1,yn+1)-f( (k) n+1 n+1 n+1,vn+ hL 21m-y( k+1 由假设知:历nhy4+=0,故有impk+=yn1 k n+1
初值问题的Euler方法 由假设知 故有 。 证明：由式（ ）和（ ）有 1 ( 1) 1 1 (0) 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1 (k 1 ) n 1 n 1 ) 0 , lim 2 : lim ( ) | | 2 ( ...... | | 2 | ( , ) ( , )| 2 | y y | 2 3 + + + → + → + + + + + + + + + + + + = = − − − = − n k n k k k n n k k n n k n n n n y y hL y y hL y y hL f x y f x y h
初值问题的 Euler方法 对于(2)计算yn,由于迭代工作量较大,一般只 迭代一次,构成一类预估一校正算法,即 (P) +1 hf(n,yn) yn=y,+lf(n, yn)+f(xn+l,yIp)) 并取yn1=ye
初值问题的Euler方法 并取 。 迭代一次 构成一类预估 校正算法 即 对于 计算 由于迭代工作量较大 一般只 (c) 1 1 ( ) 1 1 ( ) ` ( ) 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 ( , ) , , (2) , , + + + + + + + = = + + = + − n n p n n n n n c n n n n p n n y y f x y f x y h y y y y hf x y y
初值问题的 Euler方法 上式还常写成 yn=yn+f(k,+k2) k =hf(n, yn) k2=hf(xn+h,yn+k1)(n=0,2,) 该式称为改进 Euler方法,亦可写成 yn=yn+[f(xn+yn)+f(n+l, yn+hf(xn, yn))
初值问题的Euler方法 [ ( ) ( , ( , ))] 2 Euler , ( , ) ( 0,1,2,...) ( , ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n n f x y f x y hf x y h y y k hf x h y k n k hf x y y y f k k = + + + + = + + = = = + + + + + 该式称为改进 方法 亦可写成 上式还常写成