Y=[x(2),x(3),.,x(n,4=[a,b2,.,bw] 「-"(2)x(2).x0(2)] B- -"3)"3).x6) -(m)x(m).xW(m) 则GML,N)的灰微分方程为 Y=Bu 其中Y为己知数据向量，B为GM(L,N)己知数据矩阵，4为参数向量。用立表示4的 估计值，令6=Y-B表示估计值的残差，根据最小二乘法，求使 J(i)=s's=(Y-Bi)'(Y-Bi) 达到最小值的估计值立。 事实上，如果存在(BB),则有 i=la,6.6.=(B'B)B'Y (10) 如果(BB)为奇异矩阵（例如当n-I<N时），即(BB)不存在，则此时i不 能用(10)式确定。但注意到ǜ的元素实际上是各子因素对主因素影响大小的反映，因 此，我们可以引入加权矩阵W=diag(,2,w、),使对各因素的未来发展趋势进 行调整控制。对于未来发展减弱趋势的因素赋予较大的权值，而对于未来增强趋势的因 素赋予较小的权值，使之更好地反映未来的实际情况。此时，计算向量ⅱ可采用下面的 公式 i=[a,b2,b,.,bwJ了=W-B'(BW-B)'y 2.GM1,N)的白化型 对于模型GML,N)的灰微分方程(9)，如果将x(k)的时刻k=1,2,.,N视为 连续变量1，则数列x"(化)就可以视为时间1的函数，记为x=x"()。则可得到 GM(L,N)的白化微分方程 -430
-430- T Y [x (2), x (3), , x (n)] (0) 1 (0) 1 (0) = 1 " ， T u a b b bN [ , , , , ] = 2 3 " ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ( ) ( ) ( ) (3) (3) (3) (2) (2) (2) (1) (1) 2 (1) 1 (1) (1) 2 (1) 1 (1) (1) 2 (1) 1 z n x n x n z x x z x x B N N N " # # # # " " 则GM(1, N) 的灰微分方程为 Y = Bu 其中Y 为已知数据向量，B 为GM(1, N) 已知数据矩阵，u 为参数向量。用uˆ 表示u 的 估计值，令ε = Y − Buˆ 表示估计值的残差，根据最小二乘法，求使 J (uˆ) (Y Buˆ) (Y Buˆ) T T = ε ε = − − 达到最小值的估计值uˆ 。 事实上，如果存在 1 ( ) − B BT ，则有 u a b b b B B B Y T T T N 1 2 3 ] ( ) ˆ , , ˆ , ˆ ˆ [ ˆ, − = " = （10） 如果(B B) T 为奇异矩阵（例如当 n −1 < N 时），即 1 ( ) − B BT 不存在，则此时uˆ 不 能用（10）式确定。但注意到uˆ 的元素实际上是各子因素对主因素影响大小的反映，因 此，我们可以引入加权矩阵 diag( , , , ) W = w1 w2 " wN ，使对各因素的未来发展趋势进 行调整控制。对于未来发展减弱趋势的因素赋予较大的权值，而对于未来增强趋势的因 素赋予较小的权值，使之更好地反映未来的实际情况。此时，计算向量uˆ 可采用下面的 公式 u a b b b W B BW B Y T T T N 1 1 1 2 3 ] ( ) ˆ , , ˆ , ˆ ˆ [ ˆ, − − − = " = 2．GM(1, N) 的白化型 对于模型 GM(1, N) 的灰微分方程（9），如果将 ( ) (1) x k i 的时刻 k = 1,2,", N 视为 连续变量 t ，则数列 ( ) (1) x k i 就可以视为时间 t 的函数，记为 ( ) (1) (1) x x t i = i 。则可得到 GM(1, N) 的白化微分方程
年+0-2o. i=1 即为一阶N个变最的微分方程。 §6灰色预测 灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件 的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程” “随机变量 当作“灰变量 并主要以灰色系统理论中的GM1,1)模型来进行处理 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有 泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。 6.1灰色预测的方法 设已知参考数据列为x=(x(),x(2),x(m),做1次累加(AG0)生 成数列 x0=(x(,x(2),.,x() -(x(0),x"(①)+x(2),x"(n-l)+xo(m) 其中"（肉=立0(k=12.,n).求均值数列 =0()=0.5x(k)+0.5x"(k-1),k=2,3.n 则："=((2，(3)，"(n).于是建立灰微分方程为 xo(k)+az0(k)=b,k=2,3,.,n 相应的白化微分方程为 d d+ax()=b, (11) 「-z(2)1 记u=(a,b)T，Y=(xo(2),xo(3),.,xo(n)，B= -z0(3)1 则由最小二 -2(m)1 -431
-431- ∑= + = N i i i ax t b x t dt dx 2 (1) (1) 1 (1) 1 ( ) ( ) ， 即为一阶 N 个变量的微分方程。 §6 灰色预测 灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件 的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”， “随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进行处理。 灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广 泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。 6.1 灰色预测的方法 设已知参考数据列为 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) x = x x " x n ，做 1 次累加（AGO）生 成数列 ( (1), (2), , ( )) (1) (1) (1) (1) x = x x " x n ( (1), (1) (2), , ( 1) ( )) (1) (1) (0) (1) (0) = x x + x " x n − + x n 其中 ∑= = k i x k x i 1 (1) (0) ( ) ( ) （ k = 1,2,", n ）。求均值数列 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) (1) (1) (1) z k = x k + x k − ，k = 2,3,"n 则 ( (2), (3), , ( )) (1) (1) (1) (1) z = z z " z n 。于是建立灰微分方程为 x (k) + az (k) = b (0) (1) ， k = 2,3,",n 相应的白化微分方程为 ax t b dt dx + ( ) = (1) (1) ， （11） 记 T u = (a,b) ， T Y (x (2), x (3), , x (n)) (0) (0) " (0) = ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ( ) 1 (3) 1 (2) 1 (1) (1) (1) z n z z B # # ，则由最小二
乘法，求得使J(向=(Y-Bm'(Y-Bm)达到最小值的i=(a,b)=(BB)B'Y.于 是求解方程(1)得 x0k+1=(0-6e+2,k=12,.n-1. d 6.2灰色预测的步骤 1.数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考 数据为x0=(x(①)，xo(2),x(n),计算数列的级比 )=-,k=23n x0(k) 如果所有的级比k)都落在可容覆盖(，e2)内，则数列xo可以作为模型 GM1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列x©做必要的变换处理，使其落入可 容覆盖内。即取适当的常数c,作平移变换 y0(k)=xo(k)+c,k=1,2.,n 则使数列y0=(,y0(2),y(n)的级比 3=-X.k=2-n y(k) 2.建立模型 按6.1节中的方法建立模型GM1,),则可以得到预测值 严*-(0-}+台=2- 而且(k+1)=四(k+1)-0(k),k=1,2,.,n-1。 3.检验预测值 (1)残差检验：令残差为(k),计算 =k-0因，k=12.n x(k) -432
-432- 乘法，求得使 J (uˆ) (Y Buˆ) (Y Buˆ) T = − − 达到最小值的u a b B B B Y T T 1 T ˆ ( , ) ( ) − = = 。于 是求解方程（11）得 a b e a b x k x ak + = − + − ( 1) ( (1) ) (1) (0) ， k = 1,2,",n −1。 6.2 灰色预测的步骤 1．数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考 数据为 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) x = x x " x n ，计算数列的级比 ( ) ( 1) ( ) (0) (0) x k x k k − λ = ， k = 2,3,",n 如果所有的级比λ(k) 都落在可容覆盖 ( , ) 2 2 1 2 + + − n n e e 内，则数列 (0) x 可以作为模型 GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列 (0) x 做必要的变换处理，使其落入可 容覆盖内。即取适当的常数c ，作平移变换 y (k) = x (k) + c (0) (0) ， k = 1,2,",n 则使数列 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) y = y y " y n 的级比 X y k y k k y ∈ − = ( ) ( 1) ( ) (0) (0) λ ， k = 2,3,",n 2．建立模型 按 6.1 节中的方法建立模型 GM(1,1)，则可以得到预测值 a b e a b x k x ak ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − ˆ ( 1) (1) (1) (0) ， k = 1,2,",n −1 而且 ˆ ( 1) ˆ ( 1) ˆ ( ) (0) (1) (1) x k + = x k + − x k ， k = 1,2,",n −1。 3．检验预测值 （1）残差检验：令残差为ε (k) ，计算 ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) (0) (0) (0) x k x k x k k − ε = ， k = 1,2,",n