第二十五章存贮论 存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的 性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科 是运筹学的重要分支。存贮 的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有 随机因素的随机存贮模型。 §1存贮模型中的基本概念 所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和 供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图1所示。 输入（供应）+存贮◆输出（需求） 图1存贮问愿基本模型 1,存贮问题的基本要素 (1)需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用D表示。 (2)订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q表示。 (3)订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T表示。 2.存贮模型的基本费用 (1)订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关， 记为C。 (2)存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。 单位存贮费记为Cp。 (3)短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少 和短缺时间的长短有关，记为Cs。 3.存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略。 (1)1循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间1，补充 一个固定的存贮量Q。 (2)(亿，S)策略：每隔一个固定的时间1补充一次，补充数量以补足一个固定的 最大存贮量S为准。因此，每次补充的数量是不周定的，要视实际存贮量而定。当存 -317
-317- 第二十五章 存贮论 存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的 性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。存贮论 的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有 随机因素的随机存贮模型。 §1 存贮模型中的基本概念 所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和 供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图 1 所示。 图 1 存贮问题基本模型 1．存贮问题的基本要素 （1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。 （2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。 （3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。 2．存贮模型的基本费用 （1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关， 记为CD 。 （2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。 单位存贮费记为CP 。 （3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少 和短缺时间的长短有关，记为CS 。 3．存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略。 （1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充 一个固定的存贮量Q 。 （2）(t,S) 策略：每隔一个固定的时间t 补充一次，补充数量以补足一个固定的 最大存贮量 S 为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存
贮（余额）为1时，补充数量为Q=S-1。 (3)(s,S)策略：当存贮（余额）为1，若I>S,则不对存贮进行补充：若I≤s, 则对存贮进行补充，补充数量Q=S-/。补充后达到最大存贮量S。s称为订货点（或 保险存贮量、安全存贮量、警戒点等)。在很多情况下，实际存贮最需要通过盘点才能 得知。若每隔一个固定的时问1盘点一次，得知当时存贮I,然后根据I是否超过订货 点S,决定是否订货、订货多少，这样的策略称为（亿，3，S)策略。 §2无约束的确定型存贮模型 我们首先考察经济订购批最存贮模型。 货物生产 或补充)的时间很短（通常近似为 antity,.EOQ)是指不允许缺货 的模 2.1模型一：不允许缺货，补充时间极短一基本的经济订购批量存贮模型 基本的经济订购批量存贮模型有以下假设： (1)短缺费为无穷，即Cs=0: (2)当存贮降到零后，可以立即得到补充 (3)需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量）D为常数： (4)每次的订货量不变，订购费不变： (5)单位存贮费为C。 由上述假设，存贮量的变化情况如图2所示 77,33 图2EOQ模型的存贮量曲线 在每一个周期(T)内，最大的存贮量为Q,最小的存贮量为0，且需求是连续均 匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为)Q,存贮费用为)C,Q。 -318-
-318- 贮（余额）为 I 时，补充数量为Q = S − I 。 （3）(s,S) 策略：当存贮（余额）为 I ，若 I > s ，则不对存贮进行补充；若 I ≤ s ， 则对存贮进行补充，补充数量Q = S − I 。补充后达到最大存贮量 S 。s 称为订货点（或 保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能 得知。若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮 I ，然后根据 I 是否超过订货 点 s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t,s,S)策略。 §2 无约束的确定型存贮模型 我们首先考察经济订购批量存贮模型。 所谓经济订购批量存贮模型（economic ordering quantity, EOQ）是指不允许缺货、 货物生产（或补充）的时间很短（通常近似为 0）的模型。 2.1 模型一：不允许缺货，补充时间极短—基本的经济订购批量存贮模型 基本的经济订购批量存贮模型有以下假设： （1）短缺费为无穷，即CS = ∞ ； （2）当存贮降到零后，可以立即得到补充； （3）需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量） D 为常数； （4）每次的订货量不变，订购费不变； （5）单位存贮费为Cp 。 由上述假设，存贮量的变化情况如图 2 所示。 图 2 EOQ 模型的存贮量曲线 在每一个周期（T ）内，最大的存贮量为Q ，最小的存贮量为 0，且需求是连续均 匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为 Q 2 1 ，存贮费用为 CPQ 2 1
一次订货费为C。,那么在一个周期(T)内的平均订货非为C。/T。由于在最初 时刻，订货量为Q,在T时刻，存贮量为0，而且单位时间的需求量为D且连续均匀 变化，因此，得到订货量Q、需求量D和订货周期T之间的关系T= 0 由此计算出一个单位时间内的平均总费用 C-CQ+CoD 0 对式(1)求导数，并令其为0，即 得到费用最小的订货量 - (3) 最佳订货周期 r号哥 (4) 最小费用 c-cQgcc0 公式(3)称为经济订购批量(economic ordering quantity,简写EOQ)公式，也称 为经济批量(economic lot size)公式。 例1某商品单位成本为5元，每天保管费为成本的0.1%，每次定购费为10元。 己知对该商品的需求是100件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问 应怎样组织进货，才能最经济。 解根据题意，C。=5×0.1%=0.005(元/件·天)，C。=10元，D=100件/ 天。 由式(3)~(5)，有 Y0.005 -319
-319- 一次订货费为CD ，那么在一个周期（T ）内的平均订货非为CD /T 。由于在最初 时刻，订货量为Q ，在T 时刻，存贮量为 0，而且单位时间的需求量为 D 且连续均匀 变化，因此，得到订货量Q 、需求量 D 和订货周期T 之间的关系 D Q T = 。 由此计算出一个单位时间内的平均总费用 Q C D C C Q D = P + 2 1 （1） 对式（1）求导数，并令其为 0，即 0 2 1 2 = − = Q C D C dQ dC D P （2） 得到费用最小的订货量 P D C C D Q* 2 = （3） 最佳订货周期 C D C D Q T P D 2 * * = = （4） 最小费用 C C D Q C D C C Q D P D P 2 2 * 1 * = + = （5） 公式（3）称为经济订购批量（economic ordering quantity，简写 EOQ）公式，也称 为经济批量（economic lot size）公式。 例 1 某商品单位成本为 5 元，每天保管费为成本的 0.1%，每次定购费为 10 元。 已知对该商品的需求是 100 件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问 应怎样组织进货，才能最经济。 解 根据题意，Cp = 5×0.1% = 0.005 （元/件·天）， =10 CD 元， D =100 件/ 天。 由式（3）～（5），有 632 0.005 * 2 2 10 100 = × × = = P D C C D Q （件）
rg062 C'=√2CCD=3.16(元/天) 所以，应该每隔6.32天进货一次，每次进货该商品632件，能使总费用（存贮费 和定购费之和)为最少，平均约3.16元/天。 进一步研究，全年的订货次数为 6325775(天 365 n 但n必须为正整数，故还需要比较n=57与n=58时全年的费用。 编写如下LINGO程序： model: sets: times/1 2/:n,Q,Ci endsets data: n-5758: enddat a CD=10: D=100*365: CP=0.005*365; @for(times:n=D/Q;C=0.5*c_P*Q+C_D*D/Q); end 求得全年组织58次打货费用少一占 利用LNGO软件，我们可以直接求出问题的整数解。 LINGO程序如下： model: sets: times/1.100/:C,Q:!100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了； ends C_D=10; D=100*365: C_P=0.005*365: @for (times (i)Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q) c min=emin(times:c) Q_best-@sum(times(i):Q(i)*(C(i)eq c_min)); N best=D/Q best; end -320
-320- 6.32 100 632 * * = = = D Q T （天） 2 3.16 * C = CDCPD = （元/天） 所以，应该每隔 6.32 天进货一次，每次进货该商品 632 件，能使总费用（存贮费 和定购费之和）为最少，平均约 3.16 元/天。 进一步研究，全年的订货次数为 57.75 6.32 365 n = = （天） 但 n 必须为正整数，故还需要比较n = 57 与 n = 58时全年的费用。 编写如下LINGO程序： model: sets: times/1 2/:n,Q,C; endsets data: n=57 58; enddata C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; @for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); end 求得全年组织 58 次订货费用少一点。 利用 LINGO 软件，我们可以直接求出问题的整数解。 LINGO 程序如下： model: sets: times/1.100/:C,Q; !100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了; endsets C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; @for(times(i):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); C_min=@min(times:C); Q_best=@sum(times(i):Q(i)*(C(i) #eq# C_min)); N_best=D/Q_best; end
求得一年组织58次订货，每次的订货量为629.3件，最优费用为1154.25元。 2.2模型二：允许缺货，补充时间较长一经济生产批量存贮模型 模型假设条件 (1)需求是连续的，即需求速度D为常数： (2)补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。 设生产是连续均匀的，即生产速度P为常数。同时，设P>D: (3)单位存贮费为C,单位缺货费为Cs,订购费为C。·不考虑货物价值。 存贮状态图见图3。 行贮量 斜率区-D 入斜率(-D) 图3允许缺货且补充时间较长的存贮模型 [0,T刀]为一个存贮周期，4时刻开始生产，13时刻结束生产。 0,马2]时间内存贮为0,4时达到最大缺货量B,山，2]时间内产量一方面以速度 D满足需求，另一方面以速度P一D补充0,]时间内的缺货，至1，时刻缺货补足。 【2,]时间内产量一方面以速度D满足需求，另一方面以速度P-D增加存贮。 至1，时刻达到最大存贮量A,并停止生产。 山，T]时间内以存贮满足需求，存贮以速度D减少。至T时刻存贮降为零，进入 下一个存贮周期。 下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出[0，T)时间内的平均总费用（即 费用函数)，然后确定最优存贮策略。 从[0，]看，最大缺货量B=D1,:从，]看，最大缺货量B=(P-D2-4). -321
-321- 求得一年组织 58 次订货，每次的订货量为 629.3 件，最优费用为 1154.25 元。 2.2 模型二：允许缺货，补充时间较长—经济生产批量存贮模型 模型假设条件： （1）需求是连续的，即需求速度 D 为常数； （2）补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。 设生产是连续均匀的，即生产速度 P 为常数。同时，设 P > D ； （3）单位存贮费为CP ，单位缺货费为CS ，订购费为CD 。不考虑货物价值。 存贮状态图见图 3。 图 3 允许缺货且补充时间较长的存贮模型 [0,T]为一个存贮周期， 1t 时刻开始生产， 3t 时刻结束生产。 [0, ] 2t 时间内存贮为 0， 1t 时达到最大缺货量 B ，[ , ] 1 2 t t 时间内产量一方面以速度 D 满足需求，另一方面以速度 P − D 补充[0, ]1t 时间内的缺货，至 2t 时刻缺货补足。 [ , ] 2 3 t t 时间内产量一方面以速度 D 满足需求，另一方面以速度 P − D 增加存贮。 至 3t 时刻达到最大存贮量 A ，并停止生产。 [ , ] t3 T 时间内以存贮满足需求，存贮以速度 D 减少。至T 时刻存贮降为零，进入 下一个存贮周期。 下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出[0,T]时间内的平均总费用（即 费用函数），然后确定最优存贮策略。 从[0, ]1t 看，最大缺货量 B = Dt1；从[ , ] 1 2 t t 看，最大缺货量 ( )( ) 2 1 B = P − D t − t