《线性代数》课程教学资源（学习指导）矩阵及其初等变换

线性代数学习指导 矩阵及其初等变换 内容提要 一，矩阵的概念 定义由m×n个数a,-1,2,.,mj=l,2,)排成的m行n列的数表 a1a2. aa.an」 称为m行n列矩阵简称mxn矩阵记为Aa、(a,）。、A、(a,) 当m=1时，Am=(a马2.a)称为行矩阵（行向量： 当n=1时，Bna 称为列矩阵列向量)； 当m=n时，Anm=An称为n阶方阵（矩阵）. 二.特殊矩阵 1.零矩阵元素全为零的矩阵记为0或0 [10.0] 2.单位矩阵：E。=E- 01.0 00.1 k 3.数量（纯量）矩阵：kE= . 4.对角矩阵：A= =diag1,2,.,nl. 5.上（下）三角矩阵 -1-

线性代数学习指导 - 1 - 矩阵及其初等变换 内容提要 一.矩阵的概念 定义 由 m n 个数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i m j n = = 排成的 m 行 n 列的数表 11 12 1 21 22 2 31 32 3 n n n a a a a a a a a a             称为 m 行 n 列矩阵,简称 m n 矩阵.记为 A m n 、( ij)m n a  、 A 、(aij) . 当 m =1 时, A a a a 1 1 2 n n = ( ) 称为行矩阵(行向量); 当 n =1 时, 1 2 m 1 n b b B b        =       称为列矩阵(列向量); 当 m n = 时, A A n n n  = 称为 n 阶方阵(矩阵). 二.特殊矩阵 1.零矩阵:元素全为零的矩阵.记为 Om n 或 O. 2.单位矩阵: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E E n     = =         . 3.数量(纯量)矩阵: k k kE k     =         . 4.对角矩阵: 1 2 1 2 [ , , , ] n n diag            = =         . 5.上(下)三角矩阵:

线性代数学习指导 a1a2.am an .g 上三角矩阵 下三角矩阵 三.负矩阵：设A=(ag）n则-A=（-a） 四.同型矩阵：设A=(a,）B=(色，)如果m=5n=1则称A与B为同型矩阵 五.矩阵的相等：设A=(a,）,B=(亿，)n则 A=B台a,=b,6=12.,mj=12,.,m) 注意]不同型的零矩阵与单位矩阵都不相等 六.矩阵的基本运算及其性质 1加（减法 1设A=(a,),B=(6,)则A仕B=(a,±b）) [注意]】不同型的矩阵不能相加（减 (2)性质： ①A+B=B+A: ②(A+B+C=A+(B+C): ③A+0=A,A+(-A)=0. 2,数乘 (1设A=(a,)k是任意常数则M=(仙，) [注意]数乘矩阵与数乘行列式的区别： 数乘矩阵是用数K去乘以矩阵A的每一行（成列），数乘行列式是用数去乘以行列式的 某一行成列). (2)性质： .2

线性代数学习指导 - 2 - 11 12 1 22 2 n n nn a a a a a a             11 21 22 n n nn 1 2 a a a a a a             上三角矩阵 下三角矩阵 三.负矩阵:设 ( ij)m n A a  = ,则 ( ij)m n A a  − = − . 四.同型矩阵:设 ( ij)m n A a  = , ( ij)s t B b  = .如果 m s n t = = , ,则称 A 与 B 为同型矩阵. 五.矩阵的相等:设 ( ij)m n A a  = , ( ij)m n B b  = ,则 ,( 1,2, , ; 1,2, , ) A B a b i m j n =  = = = ij ij . [注意] 不同型的零矩阵与单位矩阵都不相等. 六.矩阵的基本运算及其性质 1.加(减)法 (1)设 ( ij)m n A a  = , ( ij)m n B b  = ,则 ( ij ij)m n A B a b   =  . [注意] 不同型的矩阵不能相加(减). (2)性质: ① A B B A + = + ; ② ( ) ( ) A B C A B C + + = + + ; ③ A O A A A O + = + − = , ( ) . 2.数乘 (1)设 ( ij)m n A a  = , k 是任意常数,则 ( ij)m n kA ka  = . [注意] 数乘矩阵与数乘行列式的区别: 数乘矩阵是用数 k 去乘以矩阵 A 的每一行(或列);数乘行列式是用数 k 去乘以行列式的 某一行(或列). (2)性质:

线性代数学习指导 (k+D)A=kA+IA; ②(A+B)=kA+kB; ③k(UA)=(k0A=I(k4): ④0A=O,k0=O,(-1)A=-A. 3乘法 (1)设A=(a）,B=(b)则 AB=C=(C） 其钟C,=ay+a,b,+.+abg,=12,.,mj=L2.,m） 注意制 @只有左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数AB才有意义： ②AB的行数=左矩阵A的行数AB的列数=右矩阵B的列数 ③AB的第1行第j列的元素=左矩阵A的第i行与右矩阵B的第列对应元素乘积之 ④两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵 ⑤矩阵的乘法不满足交换律，即一般地AB≠BA (2)性质： (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC.(B+C)A=BA+CA. ③(k0B=k(AB)=AkB). A0=0A=0,AE=EA=A. (3)方阵的幂 设A为n阶矩阵，则 3

线性代数学习指导 - 3 - ① ( ) k l A kA lA + = + ; ② k A B kA kB ( ) +=+ ; ③ k lA kl A l kA ( ) ( ) ( ) = = ; ④ 0 , ,( 1) A O kO O A A = = − = − . 3.乘法 (1)设 ( ij)m s A a  = , ( ij)s n B b  = ,则 ( ij)m n AB C c  = = 其中 1 1 2 2 ,( 1,2, , ; 1,2, , ) ij i j i j is sj c a b a b a b i m j n = + + + = = . [注意] ①只有左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数, AB 才有意义; ② AB 的行数=左矩阵 A 的行数, AB 的列数=右矩阵 B 的列数; ③ AB 的第 i 行第 j 列的元素=左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之 和. ④两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵. ⑤矩阵的乘法不满足交换律，即一般地 AB  BA. (2)性质: ① (AB)C = A(BC). ② (A + B)C = AC + BC,(B + C)A = BA + CA. ③ (kA)B = k(AB) = A(kB). ④ A0 = 0A = 0, AE = EA = A. (3)方阵的幂 设 A 为 n 阶矩阵，则

线性代数学习指导 A'=A.A=A'A=AA.A=A+-A=4A.d kEN 4矩阵的转置 (1)设A=(a)n,则A的转置矩阵A=(a)m (2)性质 ①(A士B)=A±B: @(k0=kA: ③(AB)T=BA'(但(AB)T≠AB): ④(A)=A. (3)对称矩阵与反对称矩阵 设A为n阶矩阵，如果①A「=A,则称A为对称矩阵：②A「=-A,则称A为反对称矩 定理2.1n阶矩阵A为对称矩阵a,=amj=L2,.,n 5.方阵的行列式 (1)设A=(a,)nn则A的行列式4=det(a). (2)性质 @k4=k4(但k4≠4： @A,B=4=B4(虽然一般地AB≠BA)特别地4=4： ®4=4 三.逆矩阵 1设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的，B是A的 逆矩阵记为A,即A=B 2.伴随矩阵及其性质 .4

线性代数学习指导 - 4 - A A A A A AA A A A AA A k N k k k = = = = =  −   1 2 1 1 , , , 4.矩阵的转置 (1)设 A = aij mn ( ) ，则 A 的转置矩阵 ji n m T A = a  ( ) . (2)性质: ① T T T (A B) = A  B ; ② T T (kA) = kA ; ③ T T T (AB) = B A (但 T T T (AB)  A B ); ④ A A T T ( ) = . (3)对称矩阵与反对称矩阵 设 A 为 n 阶矩阵,如果① A A T = ,则称 A 为对称矩阵;② A A T = − ,则称 A 为反对称矩 阵. 定理 2.1 n 阶矩阵 A 为对称矩阵  aij = a ji，i, j = 1,2,  ,n . 5.方阵的行列式 (1)设 A = aij nn ( ) ,则 A 的行列式 det( ) A = aij . (2)性质: ① kA k A n n = (但 kA  k A ); ② AnBn = A  B = BA (虽然一般地 AB  BA );特别地: k k A = A ; ③ A A T = . 三.逆矩阵 1.设 A 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB = BA = E ,则称 A 是可逆的, B 是 A 的 逆矩阵,记为 −1 A ,即 A = B −1 . 2.伴随矩阵及其性质

线性代数学习指导 设A=(a,)m,则称A=(4)'=(4)= 为矩阵A的伴随矩 AnAn.Anm 阵其中A,为个中元素a,的代数余子式 [注意]A的构造：A的第j(U=,2,川）列元素是4中第j行元素的代数余子式 定理2.2设A为矩阵A的伴随矩阵则AA=AA=AE. 3,矩阵可逆的判别定理及求逆公式 定2.3n附超4同定e420且r=不 推论2.1若n阶矩阵A、B满足AB=E(成BA=E),则A可逆，且A1=B。 4.性质 (1)(k40=k-A,k≠0： (2)(AB)=BA(但(AB)≠AB): (3)(A)=(): (4)(A)=A: r c d 4=4当可时测=4 (8)如果A=PAP-(或PAP=A,此时称A与A相以)，则 A=PAP-,k∈N -般地，设p(x)=anx"+.+a,x+a把p()=anA+.+a,A+aE称为矩阵A的 .5-

线性代数学习指导 - 5 - 设 A = aij nn ( ) ,则称               = = = n n nn n n ji T ij A A A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 * ( ) ( ) 为矩阵 A 的伴随矩 阵.其中 Aij 为 A 中元素 ij a 的代数余子式. [注意] * A 的构造: * A 的第 j ( 1,2, , ) j n = 列元素是 A 中第 j 行元素的代数余子式. 定理 2.2 设 * A 为矩阵 A 的伴随矩阵,则 AA = A A = AE * * . 3.矩阵可逆的判别定理及求逆公式 定理 2.3 n 阶矩阵 A 可逆  A  0 .且 1 1 * A A A = − . 推论 2.1 若 n 阶矩阵 A 、 B 满足 AB = E (或 BA = E ),则 A 可逆,且 A = B −1 . 4.性质 (1) ( ) 0 1 1 1 =  − − − kA k A ，k ; (2) 1 1 1 ( ) − − − AB = B A (但 1 1 1 ( ) − − − AB  A B ); (3) T T (A ) (A ) −1 −1 = ; (4) A = A −1 −1 ( ) ; (5) A A 1 1 = − ; (6) 1 d b a b c a c d a b c d −   −       − =     ; (7) 1 * − = n A A .当 A 可逆时,则 A A A = A A A = * −1 * −1 ，( ) ; (8)如果 −1 A = PP (或 =  − P AP 1 ,此时称 A 与  相似),则 A P P k N k k =   −1 ， . 一般地,设 1 0 (x) a x a x a m  = m ++ + ,把 A a A a A a E m m 1 0 ( ) = ++ + 称为矩阵 A 的