第十八章动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法 1变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有者广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。 1.1变分法的基本概念 1.1.1泛函 设S为一函数集合，若对于每一个函数x()∈S有一个实数J与之对应，则称J是 对应在S上的泛函，记作J(x()》。S称为J的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于xy平面上过定点A(x,)和B(x2,)的每一条光滑曲线(x),绕x轴 旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J((x》。由微积分知识不难写 出 J(x》=2(xW1+y2(x)d (1) 容许函数集可表示为 S-{y(x)川x)∈C[x,x2],y(x)=1,yx2)=y2} (2) 最简单的一类泛函表为 J(x(t))=F(t.x,)dt (3) 被积函数F包含自变量1，未知函数x及导数京。(1)式是最简泛函。 1.12泛函的极值 泛函J(x(t)在x。()eS取得极小值是指，对于任意一个与x(1)接近的 x()∈S,都有J(x()≥J(x()。所谓接近，可以用距离d(x(),x()<来度量。 而距离定义为 0.x,o》=maxx0-Oit0-0 泛函的极大值可以类似地定义。x,()称为泛函的极值函数或极值曲线， 泛函的自变量，函数x()在x()的增最记为 òx(t)=x(t)-x(t) 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 =J(x)+x(0)-J(x() 如果△J可以表为 -218
-218- 第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t)∈ S 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是 对应在 S 上的泛函，记作 J (x(t)) 。 S 称为 J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于 xy 平面上过定点 ( , ) 1 1 A x y 和 ( , ) 2 2 B x y 的每一条光滑曲线 y(x) ，绕 x 轴 旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 y(x) 的泛函 J ( y(x)) 。由微积分知识不难写 出 J y x y x y x dx x x ( ( )) 2 ( ) 1 ' ( ) 2 1 2 ∫ = π + （1） 容许函数集可表示为 { ( ) | ( ) [ , ], ( ) , ( ) } 1 2 1 1 2 2 1 S = y x y x ∈C x x y x = y y x = y （2） 最简单的一类泛函表为 ∫ = 2 1 ( ( )) ( , , ) t t J x t F t x x& dt （3） 被积函数 F 包含自变量t ，未知函数 x 及导数 x& 。（1）式是最简泛函。 1.1.2 泛函的极值 泛函 J (x(t)) 在 x0 (t)∈ S 取得极小值是指，对于任意一个与 ( ) 0 x t 接近的 x(t)∈ S ，都有 ( ( )) ( ( )) 0 J x t ≥ J x t 。所谓接近，可以用距离 ( ( ), ( )) < ε 0 d x t x t 来度量， 而距离定义为 ( ( ), ( )) max{| ( ) ( ) |,| ( ) ( ) |} 0 0 0 1 2 d x t x t x t x t x t x t t t t = − & − & ≤ ≤ 泛函的极大值可以类似地定义。 ( ) 0 x t 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为 泛函的自变量，函数 x(t) 在 ( ) 0 x t 的增量记为 ( ) ( ) ( ) 0 δ x t = x t − x t 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ( ( ) ( )) ( ( )) 0 0 ΔJ = J x t +δx t − J x t 如果 ΔJ 可以表为
△J=L(x(),x()+r(x(),x()》 其中L为成的线性项，而r是成的高阶项，则L称为泛函在()的变分，记作 (x。()。用变动的x()代替x(),就有(x()。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数 a0+a0. (4) 这是因为当变分存在时，增量 △J=J(x)+a)-J(x()=L(x(1),a)+x(0),a) 根据L和r的性质有 L(x(t),)=L(x(1).r) i s().)(). 亦=0 a 所以 a)im)-( =▣4a@+aa-红高- 114极值与变分 利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系： 若J(x(》在x()达到极值（极大或极小），则 6J(x()=0 (5) 这是因为对任意给定的，J(x+a)是变量a的函数，该函数在=0处达到极 值。根据函数极值的必要条件知 &k+ama-0 于是由(4)式直接得到(5)式。 1.1.5.变分法的基本引理 引理(x)∈Cx,x】,x)eC[x,x】,x)=x)=0,有 [广p(x)nx)t≡0， J='F,x0),()d 6 的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线x(),使给定的二阶连续可微 函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为x()。 1.2.1端点固定的情况 设容许曲线x()满足边界条件 -219
-219- ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0 0 ΔJ = L x t δx t + r x t δx t 其中 L 为δx 的线性项，而 r 是δx 的高阶项，则 L 称为泛函在 ( ) 0 x t 的变分，记作 ( ( )) 0 δJ x t 。用变动的 x(t) 代替 ( ) 0 x t ，就有δJ (x(t))。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α 的导数： 0 ( ( )) ( ( ) ( )) + = ∂ ∂ = αδ α α δJ x t J x t x t （4） 这是因为当变分存在时，增量 ΔJ = J (x(t) +αδx) − J (x(t)) = L(x(t),αδx) + r(x(t),αδx) 根据 L 和 r 的性质有 L(x(t),αδx) =αL(x(t),δx) 0 ( ( ), ) lim ( ( ), ) lim 0 0 = = → → x x r x t x r x t x δ αδ αδ α αδ α α 所以 α αδ αδ α α α ( ) ( ) ( ) lim 0 0 J x x J x J x x + − + = ∂ ∂ → = ( , ) ( ) ( , ) ( , ) lim 0 L x x J x L x x r x x δ δ α αδ αδ α = = + = → 1.1.4 极值与变分 利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系： 若 J (x(t)) 在 ( ) 0 x t 达到极值（极大或极小），则 δJ (x0 (t)) = 0 （5） 这是因为对任意给定的δx ， ( ) 0 J x +αδx 是变量α 的函数，该函数在α = 0 处达到极 值。根据函数极值的必要条件知 ( 0 + ) 0 = 0 ∂ ∂ αδ α = α J x x 于是由（4）式直接得到（5）式。 1.1.5. 变分法的基本引理 引理 ( ) [ , ] 1 2 ϕ x ∈C x x ， ( ) [ , ] 1 2 1 ∀η x ∈C x x ， ( ) ( ) 0 η x1 =η x2 = ，有 ∫ ≡ 2 1 ( ) ( ) 0 x x ϕ x η x dx ， 则 ( ) 0, [ , ] 1 2 ϕ x ≡ x ∈ x x 。 1.2 无约束条件的泛函极值 求泛函 ∫ = f t t J F t x t x t dt 0 ( , ( ), &( )) （6） 的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 x(t) ，使给定的二阶连续可微 函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为 ( ) * x t 。 1.2.1 端点固定的情况 设容许曲线 x(t) 满足边界条件
x(lo)=xx(l,）=x (7) 且二次可微 首先计算(6)式的变分 =品Fru0+a0.0+a0lenh =[F(t,x,x+F(t,x,)ldt 对上式右端第二项做分布积分，并利用x(化，)=(L,)=0,有 x.d 再代回到(8)式，并利用泛函取极值的必要条件，有 =E-年Fmdh=0 因为的任意性，及x(,)=()=0,所以由基本引理得到著名的欧拉方程 -0 (9) 它是这类最简泛函取极值的必要条件。 (9)式又可记作 F-F.-F.t-F.元=0 (10) 通常这是x()的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由(7)式中的两个端点条件确 定。 这时F三0，欧拉方程为F(,x)=0,这个方程以隐函数形式给出x(),但它一 般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 DF不依赖x,即F=F,) 欧拉方程为 F,u,)=0 dt 将上式积分一次，便得首次积分F:(1,)=C,由此可求出=p(1,C),积分后得到 可能的极值曲线族 x=o(tc (iF只依赖于x,即F=F() 这时F=0,Fs=0,F=0,欧拉方程为 f=0 由此可设求=0或F。=0,如果求=0，则得到含有两个参数的直线族x=C1+C2· -20
-220- 0 0 x(t ) = x ， f f x(t ) = x （7） 且二次可微。 首先计算（6）式的变分： 0 ( ( ) ( )) + = ∂ ∂ = αδ α α δJ J x t x t ∫ + + = ∂ ∂ = f t t F t x t x t x t x t dt 0 0 ( , ( ) ( ), ( ) ( )) αδ αδ α α & & ∫ = + f t t Fx t x x x Fx t x x x dt 0 [ ( , , &) ( , , &) &] δ & δ （8） 对上式右端第二项做分布积分，并利用δx(t0 ) = δx(t f ) = 0 ，有 ∫ ∫ = − f f t t x t t x F t x x xdt dt d F t x x xdt 0 0 & ( , , &)δ& & ( , , &)δ ， 再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有 ∫ = − = f t t x x F xdt dt d J F 0 δ [ & ]δ 0 因为δx 的任意性，及δx(t0 ) = δx(t f ) = 0 ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程 x − Fx = 0 dt d F & （9） 它是这类最简泛函取极值的必要条件。 （9）式又可记作 Fx − Ftx& − Fxx& x& − Fx&x& & x& = 0 （10） 通常这是 x(t) 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确 定。 1.2.2 最简泛函的几种特殊情形 (i) F 不依赖于 x& ，即 F = F(t, x) 这时 Fx& ≡ 0，欧拉方程为 Fx (t, x) = 0，这个方程以隐函数形式给出 x(t) ，但它一 般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) F 不依赖 x ，即 F = F(t, x&) 欧拉方程为 F (t, x) = 0 dt d x & & 将上式积分一次，便得首次积分 1 F (t, x) c x& & = ，由此可求出 ( , )1 x& = ϕ t c ，积分后得到 可能的极值曲线族 x ( ) t c dt ∫ = 1 ϕ , (iii) F 只依赖于 x& ，即 F = F(x&) 这时 Fx = 0,Ftx& = 0,Fxx& = 0，欧拉方程为 & x&Fx&x& = 0 由此可设 & x& = 0 或 Fx&x& = 0，如果 & x& = 0 ，则得到含有两个参数的直线族 1 2 x = c t + c
另外若F=0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的 直线族x=+C,它包含于上面含有两个参数的直线族x=C1+C?:中，于是，在 F=F(x)情况下，极值曲线必然是直线族。 (iv)F只依懒于x和，即F=F(x,) 这时有F=0,故欧拉方程为 F-=0 此方程具有首次积分 F-F;=c 事实上，注意到F不依赖于1，于是有 品F-识)=+f-期-=-F)=0 例1（最速降线问题）最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是 约翰·贝努里(J.Bemnoulli)于1696年提出的。问题的提法是这样的：设A和B是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间最短。 解将A点取为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向下，B点为B(x2,2)。根 据能量守恒定律，质点在曲线x)上任一点处的速度少满足(5为弧长) 将ds=V1+y(x)d代入上式得 -dx V28 于是质点滑行时间应表为(x)的泛函 oc- 端点条件为 0)=0,x2)=y2 最速降线满足欧拉方程，因为 不含自变量x,所以方程(10)可写作 F,-Fwy-Fyy"=0 等价于 &F-yF)=0 作一次积分得 -221
-221- 另外若 Fx&x& = 0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c 的 直线族 x = kt + c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 1 2 x = c t + c 中，于是，在 F = F(x&) 情况下，极值曲线必然是直线族。 （iv） F 只依赖于 x 和 x& ，即 F = F(x, x&) 这时有 Ftx& = 0 ，故欧拉方程为 Fx − x&Fxx& − & x&Fx&x& = 0 此方程具有首次积分为 1 F xF c − & x& = 事实上，注意到 F 不依赖于t ，于是有 ( − x ) = x + x − x − x = ( x − Fx ) = 0 dt d F x F dt d F xF F x F x xF x dt d & & & & & & & && && & & 。 例 1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是 约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。 解 将 A 点取为坐标原点，x 轴水平向右， y 轴垂直向下，B 点为 ( , ) 2 2 B x y 。根 据能量守恒定律，质点在曲线 y(x) 上任一点处的速度 dt ds 满足（ s 为弧长） mgy dt ds m ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 1 将ds 1 y' (x) dx 2 = + 代入上式得 dx gy y dt 2 1 ' 2 + = 于是质点滑行时间应表为 y(x) 的泛函 dx gy y J y x x ∫ + = 2 0 2 2 1 ' ( ( )) 端点条件为 2 2 y(0) = 0, y(x ) = y 最速降线满足欧拉方程，因为 y y F y y 2 1 ' ( , ') + = 不含自变量 x ，所以方程（10）可写作 Fy − Fyy' y'−Fy' y' y' '= 0 等价于 (F − y' Fy' ) = 0 dx d 作一次积分得
(1+y2)=c 令y=cg号则方程化为 y号-6sm号-90-cw0 C. 又因 =9(1-cos0)d0 积分之，得 x=号0-sin0)+c 由边界条件0)=0，可知C2=0,故得 x-(0-sine) y=91-c0s8 这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数C可利用另一边界条件(x,)=乃2来确定。 例2最小旋转面问题 Jx)》=2πx)W1+y2(x)d S=(ylyeC'[x.x1(x)=y.y(x2)=y} 解因F=y1+y2不包含x,故有首次积分 F-yR,=+y-y中6 化简得y=CV1+y2 令y=shl,代入上式，y=cV1+shi=cchl 由于k=少=h加=cd sht 积分之，得x=c1+C 消去1，就得到y=Cch- 。 这是悬链线方程 2.3最简泛函的推广 最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况， (1)含多个函数的泛函 -222
-222- 1 2 y(1+ y' ) = c 令 , 2 ' θ y = ctg 则方程化为 (1 cos ) 2 2 sin 1 ' 2 1 2 1 1 θ θ = = − + = c c y c y 又因 θ θ θ θ θ θ d c ctg c d y dy dx (1 cos ) 2 2 2 cos 2 sin ' 1 1 = = = − 积分之，得 2 1 ( sin ) 2 c c x = θ − θ + 由边界条件 y(0) = 0 ，可知 0 c2 = ，故得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ). 2 ( sin ) 2 1 1 θ θ θ c y c x 这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数 1 c 可利用另一边界条件 2 2 y(x ）= y 来确定。 例 2 最小旋转面问题 J y x y x y x dx x x ( ( )) 2 ( ) 1 ' ( ) 2 1 2 ∫ = π + { | [ , ], ( ) , ( ) } 1 2 1 1 2 2 1 S = y y ∈C x x y x = y y x = y 解 因 1 ' 2 F = y + y 不包含 x ，故有首次积分 1 2 2 ' 1 ' ' ' 1 ' ' c y y F y F y y y y y = + − = + − 化简得 2 1 y = c 1+ y' 令 y'= sht ，代入上式， y c sh t c cht 1 2 = 1 1+ = 由于 c dt sht c shtdt y dy dx 1 1 ' = = = 积分之，得 1 2 x = c t + c 消去t ，就得到 1 2 1 c x c y c ch − = 。 这是悬链线方程。 1.2.3 最简泛函的推广 最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。 （ⅰ）含多个函数的泛函