「0.8020.7610.5570.8100.936 0.6890.6660.529 0.8850.800 R- 0.8910.8580.5790.5770.675 0.6780.6630.5680.780 0.73 0.8110.7740.5650.8040.921 0.7430.7660.5620.6070.632 从关联矩阵R可以看出： (1)第4行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影响不大，即商业是一个不 太需要依赖外资而能自行发展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资多收入 的效益观点看，商业是优势。 (2)片5=0.936最大，表明交通投资的多少对国民收入的影响最大。也可以从此 看出交通的影响 (3)55=0.921仅次于5，表明交通收入主要取决于交通投资，这是很自然的 (4)在第4列中4=0.885最大，表明科技对工业影响最大：而54=0.577是 该列中最小的，表明从全面来衡量，还没有使科技投资与农业经济挂上钩，即科技投资 针对的不是农村需要的科技。 (5)第三行的前3个元素比价大，表明农业是个综合性行业，需其它方面的配合 例如，51=0.891表明固定资产投资能够较大地促进农业的发展。另外，52=0.858表 明农业发展与交通发展也是密切相关的。 54生成数 4,1累加生成 在研究社会系统、经济系统等抽象系统时，往往要遇到随机干扰（即所谓“噪声”） 人们对“噪声”污染系统的研究大多基于概率统计方法。但概率统计方法有很多不足之 处：要求大量数据、要求有典型的统计规律、计算工作量等。而日在某些问颗中，其概 率意义下的结论并不直观或信息量少 例如，预报某天下雨的概率是0.5，睛天的概 也是0.5，这种结论对于人们来讲毫无意义 灰色系统理论把一切随机量都看作灰色数一即在指定范围内变化的所有白色数的 全体。对灰色数的处理不是找概率分布或求统计规律，而是利用数据处理的办法去寻找 数据间的规律。通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖掘和寻找数的 规律性的方法，叫做数的生成。数的生成方式有多种：累加生成、累减生成以及加权累 加等等。这里主要介绍累加生成。 定义5把数列x各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作AGO,累加所 得的新数列，叫做累加生成数列。具体地，设原始数列为 -425
-425- ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.743 0.766 0.562 0.607 0.632 0.811 0.774 0.565 0.804 0.921 0.678 0.663 0.568 0.780 0.731 0.891 0.858 0.579 0.577 0.675 0.689 0.666 0.529 0.885 0.800 0.802 0.761 0.557 0.810 0.936 R 从关联矩阵 R 可以看出： （1）第 4 行元素几乎最小，表明各种投资对商业收入影响不大，即商业是一个不 太需要依赖外资而能自行发展的行业。从消耗投资上看，这是劣势，但从少投资多收入 的效益观点看，商业是优势。 （2）r 15 = 0.936 最大，表明交通投资的多少对国民收入的影响最大。也可以从此 看出交通的影响。 （3）r55 = 0.921仅次于 15 r ，表明交通收入主要取决于交通投资，这是很自然的。 （4）在第 4 列中 0.885 r24 = 最大，表明科技对工业影响最大；而 r34 = 0.577 是 该列中最小的，表明从全面来衡量，还没有使科技投资与农业经济挂上钩，即科技投资 针对的不是农村需要的科技。 （5）第三行的前 3 个元素比价大，表明农业是个综合性行业，需其它方面的配合， 例如，r31 = 0.891表明固定资产投资能够较大地促进农业的发展。另外，r32 = 0.858 表 明农业发展与交通发展也是密切相关的。 §4 生成数 4.1 累加生成 在研究社会系统、经济系统等抽象系统时，往往要遇到随机干扰（即所谓“噪声”）。 人们对“噪声”污染系统的研究大多基于概率统计方法。但概率统计方法有很多不足之 处：要求大量数据、要求有典型的统计规律、计算工作量等。而且在某些问题中，其概 率意义下的结论并不直观或信息量少。例如，预报某天下雨的概率是 0.5，晴天的概率 也是 0.5，这种结论对于人们来讲毫无意义。 灰色系统理论把一切随机量都看作灰色数—即在指定范围内变化的所有白色数的 全体。对灰色数的处理不是找概率分布或求统计规律，而是利用数据处理的办法去寻找 数据间的规律。通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖掘和寻找数的 规律性的方法，叫做数的生成。数的生成方式有多种：累加生成、累减生成以及加权累 加等等。这里主要介绍累加生成。 定义 5 把数列 x 各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作 AGO，累加所 得的新数列，叫做累加生成数列。具体地，设原始数列为
x°=(x0(①，x0(2),.,x(n),累加生成数列记为x0=(x(①，.，x(n),且 x@与x0满足 x()(.ka.n (3) 其中a≤n为正整数。上述累加过程当1<a≤k时称为去首累加生成，当a=1时称为 般累加生成 这里，我们只讨论=1时的情形，(3)式中上标(1)表示1次累加生成，记作1 一AGO。在一次累加数列x山的基础上再做1次累加生成，可得到2次累加生成，记作 2一AGO。依次下去，对原始数列x,我们可做r次累加生成，记作P一AGO,从而 得到r次累加生成数列x。x)与x-》满足下面的关系： x(k)=∑x-(0,k=1,2,.,n (4) 在实际应用中，最常用的是1次累加生成。本节只讨论1次累加生成 般地，经济数列等实际向题的数列皆是非负数列，累加生成可使非负的摆动与非 摆动的数列或任意无规律性的数列转化为非减的、递增的数列。 当然，有些实际问题的数列中有负数（例如温度等），累加时略微复杂。有时，由 于出现正负抵消这种信息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚 至可能被削弱。对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后再做累加生成。 4.2累减生成 当然，利用数的生成可得到一系列有规律的数据，甚至可拟合成一些函数。但生 成数列并非是直接可用的数列，因此，对于生成数还有个还原的问题。对累加生成，还 原的办法采用累减生成。 对原始数列依次做前后两数据相减的运算过程叫累减生成，记作AGO。若x为 r一AG0数列，则称 x-()=x(k)-x(k-1),k=2,3.,n (5) 为严次思减牛成数列 43均值生成 设原始数列为xo=(x(①，x(2),x(m),则称x(k-)与x(k)为数 -426
-426- ( (1), (2), , ( )) 0 (0) (0) (0) x = x x " x n ，累加生成数列记为 ( (1), , ( )) (1) (1) (1) x = x " x n ，且 (0) x 与 (1) x 满足 ( ) ( ) (1) (0) x k x i k i ∑= = α ，k = α,",n （3） 其中α ≤ n为正整数。上述累加过程当1 < α ≤ k 时称为去首累加生成，当α = 1时称为 一般累加生成。 这里，我们只讨论α = 1时的情形，（3）式中上标（1）表示 1 次累加生成，记作 1 —AGO。在一次累加数列 (1) x 的基础上再做 1 次累加生成，可得到 2 次累加生成，记作 2—AGO。依次下去，对原始数列 (0) x ，我们可做 r 次累加生成，记作 r —AGO，从而 得到 r 次累加生成数列 (r) x 。 (r) x 与 (r−1) x 满足下面的关系： ( ) ( ) 1 ( ) ( 1) x k x i k i r r ∑= − = , k =1,2,", n （4） 在实际应用中，最常用的是 1 次累加生成。本节只讨论 1 次累加生成。 一般地，经济数列等实际问题的数列皆是非负数列，累加生成可使非负的摆动与非 摆动的数列或任意无规律性的数列转化为非减的、递增的数列。 当然，有些实际问题的数列中有负数（例如温度等），累加时略微复杂。有时，由 于出现正负抵消这种信息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚 至可能被削弱。对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后再做累加生成。 4.2 累减生成 当然，利用数的生成可得到一系列有规律的数据，甚至可拟合成一些函数。但生 成数列并非是直接可用的数列，因此，对于生成数还有个还原的问题。对累加生成，还 原的办法采用累减生成。 对原始数列依次做前后两数据相减的运算过程叫累减生成，记作 IAGO。若 (r) x 为 r —AGO 数列，则称 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) = − − − x k x k x k r r r ， k = 2,3,", n （5） 为 r 次累减生成数列。 4.3 均值生成 设原始数列为 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) x = x x " x n ，则称 ( 1) (0) x k − 与 ( ) (0) x k 为数
列x0的一对（紧）邻值，x(k-1)称为前值，x(k)称为后值。 对于常数a∈[0，]，则称 o(k)=axo(k)+1-a)x0(k-1) 为由数列x的邻值在生成系数（权）α下的邻值生成数（或生成值）。 特别地，当生成系数a=0.5时，则称 -(k)=0.5x(k)+0.5x0(k-1) 6 为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非邻值生成数： (k)=aX(k+1)+(1-a)xo(k-1) 2o(k)=0.5x(k+1)+0.5xo(k-1) 而数列0-(0()，o(2),.,o(n)称为非紧邻均值(mean)生成数列。 §5灰色模型GM 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进 而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，而 且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为GM(Grev Model),即灰 色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 削弱而且较有规律的生成数，建立 起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 5.1GM1.1)模型 1.GM(1.1)的定义 设x为n个元素的数列x=(x(①)，x(2),.,x(n),x的AG0生成数 列为=("0，“(2，》，其中)=立0(k=l2,n。则 定义x的灰导数为 d(k)=x0(k)=x"(k)-x"(k-1), -427
-427- 列 (0) x 的一对（紧）邻值， ( 1) (0) x k − 称为前值， ( ) (0) x k 称为后值。 对于常数α ∈[0,1]，则称 ( ) ( ) (1 ) ( 1) (0) (0) (0) z k = α x k + −α x k − 为由数列 (0) x 的邻值在生成系数（权）α 下的邻值生成数（或生成值）。 特别地，当生成系数α = 0.5 时，则称 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) (0) (0) (0) z k = x k + x k − （6） 为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非邻值生成数： ( ) ( 1) (1 ) ( 1) (0) (0) (0) z k = α X k + + −α x k − 和 ( ) 0.5 ( 1) 0.5 ( 1) ~(0) (0) (0) z k = x k + + x k − 而数列 ( )) ~ (2), , ~ (1), ~( ~(0) (0) (0) (0) z = z z " z n 称为非紧邻均值（mean）生成数列。 §5 灰色模型 GM 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进 而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，而 且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为 GM（Grey Model），即灰 色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立 起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 5.1 GM(1,1)模型 1．GM(1,1)的定义 设 (0) x 为 n 个元素的数列 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) x = x x " x n ， (0) x 的 AGO 生成数 列为 ( (1), (2), , ( )) (1) (1) (1) (1) x = x x " x n ，其中 ∑= = k i x k x i 1 (1) (0) ( ) ( )（ k = 1,2,", n ）。则 定义 (1) x 的灰导数为 ( ) ( ) ( ) ( 1) (0) (1) (1) d k = x k = x k − x k −
令：D为数列x的紧邻均值数列，即 ="(k)=0.5x"(k)+0.5x9(k-1),k=2,3.n 则：”=("(2)，(3)，.，(m)。于是定义GM1,1)的灰微分方程模型为 d(k)+a(k)=b, 卧 x(k)+a(k)=b (7) 其中x(k)称为灰导数，a称为发展系数，"(k)称为白化背景值，b称为灰作用最。 将时刻k=2,3,.,n代入(7)式中有 x0(2)+az(2)=b xo(3)+a0(3)=b x(n)+a(n)=b 「-"(2)1] 令y=(x(2),x(3),x(n》,u=(a,b,B= -z"(3)1 称Y为 -(m)1 数据向量，B为数据矩阵，山为参数向量，则GM1,1)模型可以表示为矩阵方程Y=Bu。 由最小二乘法可以求得 i=(a.b)"=(B'B)B'Y 2.GML,1)的白化型 对于GM1,1)的灰微分方程(7)，如果将x(k)的时刻k=2,3,.,n视为连续连 续的变量1，则数列x四就可以视为时间1的函数，记为x=x(),并让灰导数 )对应于导数 ,背景值：(k)对应于x()。于是得到GM(1,1)的灰微分 方程对应的白微分方程为 -428
-428- 令 (1) z 为数列 (1) x 的紧邻均值数列，即 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) (1) (1) (1) z k = x k + x k − ， k = 2,3,"n 则 ( (2), (3), , ( )) (1) (1) (1) (1) z = z z " z n 。于是定义 GM(1,1)的灰微分方程模型为 d(k) + az (k) = b (1) ， 即 x (k) + az (k) = b (0) (1) （7） 其中 ( ) (0) x k 称为灰导数，a 称为发展系数， ( ) (1) z k 称为白化背景值，b 称为灰作用量。 将时刻 k = 2,3,", n代入（7）式中有 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = x n az n b x az b x az b ( ) ( ) (3) (3) (2) (2) (0) (1) (0) (1) (0) (1) """ 令 T Y (x (2), x (3), , x (n)) (0) (0) " (0) = ， T u = (a,b) ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ( ) 1 (3) 1 (2) 1 (1) (1) (1) z n z z B # # ，称Y 为 数据向量，B 为数据矩阵，u 为参数向量，则 GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程Y = Bu 。 由最小二乘法可以求得 u a b B B B Y T T 1 T ) ( ) ˆ ˆ ( ˆ, − = = 2．GM(1,1)的白化型 对于 GM(1,1)的灰微分方程（7），如果将 ( ) (0) x k 的时刻 k = 2,3,", n视为连续连 续的变量 t ，则数列 (1) x 就可以视为时间 t 的函数，记为 ( ) (1) (1) x = x t ，并让灰导数 ( ) (0) x k 对应于导数 dt dx(1) ，背景值 ( ) (1) z k 对应于 ( ) (1) x t 。于是得到 GM(1,1)的灰微分 方程对应的白微分方程为
0+x"=b e 称之为GM(1,I)的白化型 值得注意的是：GM(1,1)的白化型(8)并不是由GM(1,1)的灰微分方程直接推导出 来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。 另一方面，GM1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则 表明所用数列建立的模型GM1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。 5.2GM1N)模型 1.GM(L,N)模型定义 GML,I)即表示模型是1阶的，且只含1个变量的灰色模型。而GM(L,N)即表示 模型是1阶的，包含有N个变量的灰色模型 设系统有N个行为因子，即原始数列为 x=(x(①)，x(2,.,x(m),1=1,2,.,N 记x四为x的AG0数列，即 x0=(x"(,x"(2),.,x"(n》 =(x"(I),x"(0)+x4(2),.,x(n-1)+x(n》,i=1,2,.,N 其中")=立U)(k=2n.取”的均值数列 =(k)=0.5x(k)+0.5x(k-),k=2,3,n 则"=("(2)，(3)，.，=(n)。于是可得到GML,N)的灰微分方程为 x(k)+az"(k)=∑bx"(k) (9) 其中x(k)为灰导数，三"(k)为背景值，a,b,亿=2,3，.，N)为参数。 如果对于一切时刻k=2,3,.,n,引入向量矩阵记号 -429
-429- ax b dt dx + = (1) (1) （8） 称之为 GM(1,1)的白化型。 值得注意的是：GM(1,1)的白化型（8）并不是由 GM(1,1)的灰微分方程直接推导出 来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。 另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则 表明所用数列建立的模型 GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。 5.2 GM(1, N) 模型 1．GM(1, N) 模型定义 GM(1,1)即表示模型是 1 阶的，且只含 1 个变量的灰色模型。而GM(1, N) 即表示 模型是 1 阶的，包含有 N 个变量的灰色模型。 设系统有 N 个行为因子，即原始数列为 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) xi = xi xi " xi n ，i = 1,2,", N 记 (1) i x 为 (0) i x 的 AGO 数列，即 ( (1), (2), , ( )) (1) (1) (1) (1) xi = xi xi " xi n ( (1), (1) (2), , ( 1) ( )) (1) (1) (0) (1) (0) = xi xi + xi " xi n − + xi n ，i = 1,2,", N 其中 ∑= = k j i i x k x j 1 (1) (0) ( ) ( ) （ k = 1,2,", n ）。取 (1) 1 x 的均值数列 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) (1) 1 (1) 1 (1) z1 k = x k + x k − ， k = 2,3,", n 则 ( (2), (3), , ( )) (1) 1 (1) 1 (1) 1 (1) z1 = z z " z n 。于是可得到GM(1, N) 的灰微分方程为 ( ) ( ) ( ) 2 (1) (1) 1 (0) 1 x k az k b x k N i ∑ i i = + = （9） 其中 ( ) (0) 1 x k 为灰导数， ( ) (1) 1z k 为背景值， a,b (i 2,3, , N) i = " 为参数。 如果对于一切时刻 k = 2,3,", n，引入向量矩阵记号