第十六章差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 51差分方稻 左 方程简介 规定1只取非负整数。记y,为变量y在1点的取值，则称△y,=y,1-y,为，的一 阶向前差分，简称差分，称△y=A(Ay,)=Ay1-Ay,=2-2y1+y为y的二 阶差分。类似地，可以定义y,的n阶差分△”y,。 由1、，及y的差分给出的方程称为,的差分方程，其中含，的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 2y,+△y,+y,=0也可改写成y2-y+y=0. 满足一差分方程的序列y称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，称此解为满足 些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 ao+ay++ay=b(1) (1) 为n阶常系数线性差分方程，其中a,a,.,a,是常数，a≠0。其对应的齐次方程为 aoy+a++a:=0 (2)》 容易证明，若序列0与2均为(2)的解，则y,=cy"+Cy2也是方程(2)的 解，其中c,C2为任意常数。若”是方程(2)的解，y2是方程(1)的解，则 男=y"+y2也是方程(1)的解。 方程(1)可用如下的代数方法求其通解： ()先求解对应的特征方程 a2+a,2-+.+a=0 (3) ()根据特征根的不同情况，求齐次方程(2)的通解。 ()若特征方程(3)有n个互不相同的实根入，.，入。，则齐次方程(2)的通解 为 C,+.+Cn花(C,.,Cn为任意常数) (i)若1是特征方程(3)的k重根，通解中对应于1的项为（何+.+C1*), c,=1,.,k)为任意常数。 (ⅲ)若特征方程(3)有单重复根入=a±所，通解中对应它们的项为 Gp'cosm+cp'sinot,其中p=Va2+B2为2的模，p=arctg2为2的幅角。 (v)若入=α±伍是特征方程(3)的k重复根，则通解对应于它们的项为 (G+.+c-)p'Cosp+(c4l+.+c-)p'sinm -192
-192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记 t y 为变量 y 在t 点的取值，则称 t t t Δy = y − y +1 为 t y 的一 阶向前差分，简称差分，称 t t t t t t t Δ y = Δ Δy = Δy − Δy = y − y + y +1 +2 +1 2 ( ) 2 为 t y 的二 阶差分。类似地，可以定义 t y 的n 阶差分 t n Δ y 。 由 t t、y 及 t y 的差分给出的方程称为 t y 的差分方程，其中含 t y 的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 0 2 Δ yt + Δyt + yt = 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0。 满足一差分方程的序列 t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 ( ) 0 1 1 a y a y a y b t n+t + n+t− +L+ n t = （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中a a an , , , 0 1 L 是常数，a0 ≠ 0。其对应的齐次方程为 a0 yn+t + a1 yn+t−1 +L+ an yt = 0 （2） 容易证明，若序列 (1) t y 与 (2) t y 均为（2）的解，则 (2) 2 (1) t 1 t t y = c y + c y 也是方程（2）的 解，其中 1 2 c , c 为任意常数。若 (1) t y 是方程（2）的解， (2) t y 是方程（1）的解，则 (1) (2) t t t y = y + y 也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I）先求解对应的特征方程 0 0 1 0 + 1 + + = − a a a λ n λ n L （3） （II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根λ λn , , 1 L ，则齐次方程（2）的通解 为 t n n t c1λ1 +L+ c λ （ n c , ,c 1 L 为任意常数） （ii）若λ 是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ 的项为 k t k (c c t )λ 1 1 − +L+ ， c (i 1, ,k) i = L 为任意常数。 （iii）若特征方程（3）有单重复根 λ = α ± βi ，通解中对应它们的项为 c t c t t t 1ρ cosϕ + 2ρ sinϕ ，其中 2 2 ρ = α + β 为λ 的模， α β ϕ = arctg 为λ 的幅角。 （iv）若λ = α ± βi 是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 c c t t c c t t k t k k k t ( k )ρ cosϕ ( )ρ sinϕ 1 1 2 1 1 − + − +L+ + +L+
C,(i=1,.,2k)为任意常数。 ()求非齐次方程(1)的一个特解。若y,为方程(2)的通解，则非齐次力 程(1)的通解为刀，+y,。 求非齐次方程(1)的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的() 也可使用待定系数法。例如，当b()=bP,(),P,()为1的k次多项式时可以证明： 若b不是特征根，则非齐次方程(1)有形如bq,()的特解，9()也是1的k次多项 式：若b是r重特征根，则方程(1)有形如b'tq()的特解。进而可利用待定系数法 求出g(),从而得到方程(1)的一个特解习，。 例1求解两阶差分方程y2+，=1 解对应齐次方程的特征方程为2+1=0，其特征根为入2=，对应齐次方程 的通解为 y.=c cos+c:sin 原方程有形如1+b的特解。代入原方程求得口=行b=-宁放服方程的通解 cos71+6sm1+-月 1 例2在信道上传输仅用三个字母a,b,c且长度为n的词，规定有两个a连续出现 求得：)=3，(2)=8。当n≥3时，若词的第一个字母是b或c,则词可按h(n-l) 种方式完成：若词的第一个字母是a,则第二个字母是b或c,该词剩下的部分可按 (n一2)种方式完成。于是，得差分方程 h(n)=2h(n-1)+2h(n-2),(n=3,4,-) 其特征方程为 22-21-2=0 特征根 元=1+3,2=1-√3 则通解为 -5. m=2+50+r+-2+50-r,a=12 23 在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性 差分方程(1)，若不论其对应齐次方程的通解中任意常数C,.,Cn如何取值，在1→+∞ 时总有y,→0，则称方程(1)的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方 -19
-193- c (i 1, ,2k) i = L 为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 t y 。若 t y 为方程（2）的通解，则非齐次方 程（1）的通解为 t t y + y 。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t) 也可使用待定系数法。例如，当b(t) b p (t) k t = ， p (t) k 为t 的k 次多项式时可以证明： 若b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如b q (t) k t 的特解， q (t) k 也是t 的 k 次多项 式；若b 是 r 重特征根，则方程（1）有形如b t q (t) k t r 的特解。进而可利用待定系数法 求出 q (t) k ，从而得到方程（1）的一个特解 t y 。 例 1 求解两阶差分方程 y y t t+2 + t = 。 解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 λ + = ，其特征根为 = ±i λ1,2 ，对应齐次方程 的通解为 y c t c t t 2 sin 2 cos 1 2 π π = + 原方程有形如 at + b的特解。代入原方程求得 2 1 a = ， 2 1 b = − ，故原方程的通解 为 2 1 2 1 2 sin 2 cos c1 t + c2 t + t − π π 例 2 在信道上传输仅用三个字母a,b,c 且长度为n 的词，规定有两个a 连续出现 的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。 解 令 h(n) 表示容许传输且长度为 n 的词的个数， n = 1,2,L，通过简单计算可 求得：h(1) = 3，h(2) = 8。当n ≥ 3 时，若词的第一个字母是b 或c, 则词可按h(n −1) 种方式完成；若词的第一个字母是 a ，则第二个字母是b 或 c ，该词剩下的部分可按 h(n − 2) 种方式完成。于是，得差分方程 h(n) = 2h(n −1) + 2h(n − 2)，(n = 3,4,L) 其特征方程为 2 2 0 2 λ − λ − = 特征根 1 3 λ1 = + ， 1 3 λ2 = − 则通解为 n n h(n) c (1 3) c (1 3) = 1 + + 2 − ，(n = 3,4,L) 利用条件h(1) = 3，h(2) = 8，求得 n n h n (1 3) 2 3 2 3 (1 3) 2 3 2 3 ( ) − − + + + + = ，(n = 1,2,L) 在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性 差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数 n c , ,c 1 L 如何取值，在t → +∞ 时总有 yt → 0 ，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方
程(1)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。 12 方程 用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解 但界 性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用Z变换，将差分方 设有离敬序列xk,(k=0,12,),则x(k)的Z变换定义为 X(e)=ZLx(k】=∑x(k)zA (4) 其中：是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部， X(e)的Z反变换记作 x(k)=Z-'[X(e】 12.1几个常用离散函数的Z变换 ()单位冲激函数(k)的Z变换 46w1-20w=x:1-l 即单位冲激函数的Z变换为1。 (ii)单位阶跃函数U(k)的Z变换 21=2-21: 即 Z[Uk】= -0:) (im)单边指数函数f(k)=a的Z变换(a为不等于1的正常数) Zla']-Ea's-a (ba) 设Zfk】=F(e),25(k=F(e),则 Za时(k)+(k)】=aF()+bF(e) 其中a,b为常数。收敛域为F(:)和F(:)的公共区域。 (i)平移性 设ZLfk)】=F(e),则 Zfk+1】=[F(e)-fo zU(+N)=F()-f(). k-0 ZLf(k-1]=[F(=)+f(-1)], .5e+2-r1 ,3求木洗老分方程
-194- 程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。 1.2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法 常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。 设有离散序列 x(k) ，(k = 0,1,2,L) ，则 x(k) 的 Z 变换定义为 ∑ ∞ = − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) k k X z Z x k x k z （4） 其中 z 是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。 X (z)的 Z 反变换记作 ( ) [ ( )] 1 x k Z X z − = 1.2.1 几个常用离散函数的 Z 变换 （i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换 ∑ ∞ = = − − = = × = 0 [ ( )] ( ) [1 ] 0 1 k k k k Z δ k δ k z z 即单位冲激函数的 Z 变换为 1。 （ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − = = × 0 0 [ ( )] ( ) 1 k k k k Z U k U k z z ， 即 (| | 1) 1 [ ( )] > − = z z z Z U k （iii）单边指数函数 k f (k) = a 的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数） ∑ ∞ = − > − = = 0 [ ] (| | ) k k k k z a z a z Z a a z 1.2.2 Z 变换的性质 （i）线性性质 设 [ ( )] ( ) 1 1 Z f k = F z ， [ ( )] ( ) 2 2 Z f k = F z ，则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 Z af k + bf k = aF z + bF z 其中a,b 为常数。收敛域为 ( ) 1 F z 和 ( ) 2 F z 的公共区域。 （ii）平移性 设 Z[ f (k)] = F(z) ，则 Z[ f (k +1)] = z[F(z) − f (0)]， [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 0 ∑ − = − + = − N k N k Z f k N z F z f k z ， [ ( 1)] [ ( ) ( 1) ] 1 Z f k − = z F z + f − z − ， [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 1 ∑ − = − − = + − N k N k Z f k N z F z f k z 例 3 求齐次差分方程
x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0,x(0)=0,x1)=1 的解。 解令Zx(k)】=X(:),对差分方程取Z变换，得 2X(e）)-2+3zX(e)+2X(e)=0, 2 X(e)=2+32+2:+1:+2 对上式取：反变换，使得差分方程的解为 x(k)=(-1)-(-2)。 §2蛛网模型 2.1问题提出 在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引 起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品：一段时间之后，随着 反复出现 如何从数学的角度来描述上述现象呢？ G①)设时段商品数量为x,其价格为y:这里，把时间离散化为时段，一个时 期相当于商品的 气品时段的南品的价格取决于该时段商品的数量，把 y=f(x) 称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假 设：需求函数为一个单调下降函数。 ()下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把 x=8(V) (6) 称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升 的雨勒 2.3模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于 (xo,%),则为平衡点因为此时=g0o),=fx),若某个k,有x=x0 则可推出 y=%,x,=0,(1=k,k+1 即商品的数量保持在x。,价格保持在y。,不妨设x,≠x。,下面考虑x,y在图上的变 化(k=1,2,)。如下图所示，当x,给定后，价格片由∫上的P -195
-195- x(k + 2) + 3x(k +1) + 2x(k) = 0， x(0) = 0 ， x(1) = 1 的解。 解 令 Z[x(k)] = X (z) ，对差分方程取 Z 变换，得 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 2 z X z − z + zX z + X z = ， 3 2 1 2 ( ) 2 + − + = + + = z z z z z z z X z ， 对上式取 z 反变换，便得差分方程的解为 k k x(k) = (−1) − (−2) 。 §2 蛛网模型 2.1 问题提出 在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引 起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产 量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产； 随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会 反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢？ 2.2 模型假设 （i）设k 时段商品数量为 k x ，其价格为 k y 。这里，把时间离散化为时段，一个时 期相当于商品的一个生产周期。 （ii）同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，把 ( ) k k y = f x （5） 称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假 设：需求函数为一个单调下降函数。 （iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把 ( ) k 1 k x = g y + （6） 称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升 的函数。 2.3 模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于 ( , ) 0 0 0 P x y ，则 P0 为平衡点。因为此时 ( ) 0 0 x = g y ， ( ) 0 0 y = f x ，若某个k ，有 0 x x k = ， 则可推出 0 y y l = ， 0 x x l = ，(l = k,k +1,L) 即商品的数量保持在 0 x ，价格保持在 0 y ，不妨设 1 0 x ≠ x ，下面考虑 k k x , y 在图上的变 化(k = 1,2,L) 。如下图所示，当 1 x 给定后，价格 1 y 由 f 上的 P1
0,x3 点决定，下一时段的数量x2由g上的乃点决定，乃2又可由∫上的B点决定。依此类 推，可得一系列的点P(x乃)，P(x2乃)，B(x22),P(x3乃2)，图上的箭头 表示求出P的次序，由图知： lim P(x.y)=Po(xo:o). 示，得出的P,卫，.就不趋于，此时，市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线PD,D,P,PP,.形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中，∫取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平，g取决于 生产者的生产、管理等能力 当已经知道需求函数和供应函数之后，可以根据f和g的性质判断平衡点的稳 性。利用结论：当|x一较小时，尸点的稳定性取决于∫与g在B点的斜率，即 当 (x)kg( (7) 时，点稳定，当 If(x)g()川 (8) 时，P点不稳定。 这一结论的直观解释是：需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。 设a广，小月g'0,儿，在B点附近取∫与g的线性近似，由(5)，(6 式得 -196
-196- 点决定，下一时段的数量 2 x 由 g 上的 P2 点决定， 2 y 又可由 f 上的 P3 点决定。依此类 推，可得一系列的点 ( , ) 1 1 1 P x y ， ( , ) 2 2 1 P x y ， ( , ) 3 2 2 P x y ， ( , ) 4 3 2 P x y ，图上的箭头 表示求出 Pk 的次序，由图知： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y P x y k k = →+∞ ， 即市场经济将趋于稳定。 并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的 f 与 g 的图形如下图所 示，得出的 P1,P2 ,L就不趋于 P0 ，此时，市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线 P1P2 ,P2P3 ,P3P4 ,L形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中， f 取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平， g 取决于 生产者的生产、管理等能力。 当已经知道需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳 定性。利用结论：当| | 1 0 x − x 较小时，P0 点的稳定性取决于 f 与 g 在 P0 点的斜率，即 当 | '( ) | | '( ) | 0 0 f x < g y （7） 时， P0 点稳定，当 | '( ) | | '( ) | 0 0 f x > g y （8） 时， P0 点不稳定。 这一结论的直观解释是：需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。 设 | '( ) | 0 α = f x ， | '( ) | 1 0 = g y β ，在 P0 点附近取 f 与 g 的线性近似，由（5），（6） 式得