1.1节：线性空间 定义1.1.7 设V1,V2是线性空间V的子空间，所谓V1与V2的和，记为 V1+V2={a=a1+a2la1∈Vi,a2∈V2}. 但一般说来，VUV2并不是V的一个子空间 4口++8+三·4至+2分QC 矩阵理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日12/177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.7 V1, V2¥Ç5òmVfòmߧ¢V1 ÜV2 ⁄ßPè V1 + V2 = {α = α1 + α2|α1 ∈ V1, α2 ∈ V2} . òÑ`5ßV1 S V2øÿ¥Vòáfòm. ~1.1.4 W1ßW2èÇ5òmV¸áfòmßÖ- W1 T W2 = {X |X ∈ W1 , X ∈ W2}, W1 S W2 = {X |X ∈ W1 , X ∈ W2}. Ø: W1 T W2ßW1 S W2¥ƒ©O—§fòmº eU§fò m,y²É¶eÿU,ûfi—á~. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 12 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.7 设V1,V2是线性空间V的子空间，所谓V1与V2的和，记为 V+V2={a=a1+a2la1∈Vi,a2∈V2}. 但一般说来，VUV2并不是V的一个子空间 例1.1.4W1,W2为线性空间V的两个子空间，且令 W∩W2={XX∈W1,X∈W2},WUW2={XX∈W1,X∈W2} 问：W1∩W2,W1UW2是否分别都构成子空间？若能构成子空 间，证明之：若不能，请举出反例 矩库理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日121177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.7 V1, V2¥Ç5òmVfòmߧ¢V1 ÜV2 ⁄ßPè V1 + V2 = {α = α1 + α2|α1 ∈ V1, α2 ∈ V2} . òÑ`5ßV1 S V2øÿ¥Vòáfòm. ~1.1.4 W1ßW2èÇ5òmV¸áfòmßÖ- W1 T W2 = {X |X ∈ W1 , X ∈ W2}, W1 S W2 = {X |X ∈ W1 , X ∈ W2}. Ø: W1 T W2ßW1 S W2¥ƒ©O—§fòmº eU§fò m,y²É¶eÿU,ûfi—á~. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 12 / 177
证明：(1)W1∩W2是V的子空间，证明如下.因W1,W2为线性子空间， 均含有零元，因而W1∩W2是非空集 4口++8+三·4至+2分QC 矩库理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日131177
y²: (1) W1 T W2¥Vfòmßy²Xe. œW1ßW2èÇ5fòmß ˛¹k"ßœ W1 T W2¥öò8. 2bXα, β ∈ W1 T W2ßKα, β ∈ W1ßα, β ∈ W2. œW1ßW2èfòm, α + β ∈ W1ßα + β ∈ W2ß u¥α + β ∈ W1 T W2.”ßœλα ∈ W1ßλα ∈ W2ßλα ∈ W1 T W2, œ W1 T W2¥Vfòm. (2) W1 S W2ÿò½¥Vfòm.á~Xe.V = R 2ß -W1 = {(x, 0)|x ∈ R}ßW2 = {(y, 0)|y ∈ R}ßKßDzèR 2fòmß α = (1, 0)ßβ = (0, 1)ßw,α, β ∈ W1 S W2ß α + β = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈/ W1 S W2ßœ W1 S W2ÿ¥R 2f òm. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 13 / 177
证明：(1)W1∩W2是V的子空间，证明如下.因W1,W2为线性子空间， 均含有零元，因而W1∩W2是非空集 再假如a,B∈W1∩W2,则a,3∈W1,a,B∈W2.因W1,W2为子空间， 故 4口++8+三·4至+2分QC 矩库理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日131177
y²: (1) W1 T W2¥Vfòmßy²Xe. œW1ßW2èÇ5fòmß ˛¹k"ßœ W1 T W2¥öò8. 2bXα, β ∈ W1 T W2ßKα, β ∈ W1ßα, β ∈ W2. œW1ßW2èfòm, α + β ∈ W1ßα + β ∈ W2ß u¥α + β ∈ W1 T W2.”ßœλα ∈ W1ßλα ∈ W2ßλα ∈ W1 T W2, œ W1 T W2¥Vfòm. (2) W1 S W2ÿò½¥Vfòm.á~Xe.V = R 2ß -W1 = {(x, 0)|x ∈ R}ßW2 = {(y, 0)|y ∈ R}ßKßDzèR 2fòmß α = (1, 0)ßβ = (0, 1)ßw,α, β ∈ W1 S W2ß α + β = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈/ W1 S W2ßœ W1 S W2ÿ¥R 2f òm. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 13 / 177
证明：(1)W1∩W2是V的子空间，证明如下.因W1,W2为线性子空间， 均含有零元，因而W1∩W2是非空集 再假如a,B∈W1∩W2,则a,B∈W1,a,3∈W2.因W1,W2为子空间， 故 a+B∈W1,a+B∈W2, 4口++8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日131177
y²: (1) W1 T W2¥Vfòmßy²Xe. œW1ßW2èÇ5fòmß ˛¹k"ßœ W1 T W2¥öò8. 2bXα, β ∈ W1 T W2ßKα, β ∈ W1ßα, β ∈ W2. œW1ßW2èfòm, α + β ∈ W1ßα + β ∈ W2ß u¥α + β ∈ W1 T W2.”ßœλα ∈ W1ßλα ∈ W2ßλα ∈ W1 T W2, œ W1 T W2¥Vfòm. (2) W1 S W2ÿò½¥Vfòm.á~Xe.V = R 2ß -W1 = {(x, 0)|x ∈ R}ßW2 = {(y, 0)|y ∈ R}ßKßDzèR 2fòmß α = (1, 0)ßβ = (0, 1)ßw,α, β ∈ W1 S W2ß α + β = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈/ W1 S W2ßœ W1 S W2ÿ¥R 2f òm. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 13 / 177