1.1节：线性空间 。定义一个从F×V到Ran(A)CKer(A*)的代数运算，称为数乘，记为 “+”,即对任意k∈F和任意a∈V,都存在唯一的B∈V,使 得B=k,a(为了表示方便，通常省略数乘符号，即将k·α写成ka).且 该“数乘”运算满足如下四条规则： (1)单位元：1·a=a,1eF,a∈V: 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日41177
1.1!: Ç5òm 2 ½¬òálF × VRan(A) ⊥ ⊆ Ker(A ∗ )ìÍ$é,°èͶ, Pè /+0, =È?ø k ∈ F ⁄?ø α ∈ V,—3çò β ∈ V, ¶ β = k · α(è L´êB,œ~é—ͶŒ“,=Ú k · α§ kα).Ö T/Ͷ0$é˜vXeo^5Kµ (1)¸†:1 · α = α, 1 ∈ F, ∀α ∈ V; (2)(‹Æ:k · (l · α) = (kl) · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (3)©Æ: (k + l) · α = k · α + l · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (4)©Æ: k · (α + β) = k · α + k · β, ∀k ∈ F, α, β ∈ V. K°(V, +, ·)¥ÍçF˛òáÇ5òm. œ~·ÇrV•˜v±˛8^5üÖµ4\{9Ͷ¸´$éß⁄ °èÇ5$é. Ç5$é¥Ç5òm üßßáN 8‹•ÉÉm ,´ìÍ(. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 4 / 177
1.1节：线性空间 ⊙定义一个从F×V到Ran(A)CKer(A*)的代数运算，称为数乘，记为 “+”,即对任意k∈F和任意a∈V,都存在唯一的B∈V,使 得B=k·a(为了表示方便，通常省略数乘符号，即将k·a写成kα).且 该“数乘”运算满足如下四条规则： (1)单位元：1·a=a,1∈F,a∈V; (2)结合律：k·(I.a)=(k0·a,k,1∈F,a∈V 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日41177
1.1!: Ç5òm 2 ½¬òálF × VRan(A) ⊥ ⊆ Ker(A ∗ )ìÍ$é,°èͶ, Pè /+0, =È?ø k ∈ F ⁄?ø α ∈ V,—3çò β ∈ V, ¶ β = k · α(è L´êB,œ~é—ͶŒ“,=Ú k · α§ kα).Ö T/Ͷ0$é˜vXeo^5Kµ (1)¸†:1 · α = α, 1 ∈ F, ∀α ∈ V; (2)(‹Æ:k · (l · α) = (kl) · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (3)©Æ: (k + l) · α = k · α + l · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (4)©Æ: k · (α + β) = k · α + k · β, ∀k ∈ F, α, β ∈ V. K°(V, +, ·)¥ÍçF˛òáÇ5òm. œ~·ÇrV•˜v±˛8^5üÖµ4\{9Ͷ¸´$éß⁄ °èÇ5$é. Ç5$é¥Ç5òm üßßáN 8‹•ÉÉm ,´ìÍ(. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 4 / 177
1.1节：线性空间 ⊙定义一个从F×V到Ran(A)CKer(A*)的代数运算，称为数乘，记为 “+”,即对任意k∈F和任意α∈V,都存在唯一的B∈V,使 得B=k·a(为了表示方便，通常省略数乘符号，即将k·a写成kα).且 该“数乘”运算满足如下四条规则： (1)单位元：1·a=a,1∈F,a∈V; (2)结合律：k·(I.a)=(·a,k,1∈F,a∈V; (3)分配律：(k+)·a=k·a+1·a,k,I∈F,a∈V; 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日41177
1.1!: Ç5òm 2 ½¬òálF × VRan(A) ⊥ ⊆ Ker(A ∗ )ìÍ$é,°èͶ, Pè /+0, =È?ø k ∈ F ⁄?ø α ∈ V,—3çò β ∈ V, ¶ β = k · α(è L´êB,œ~é—ͶŒ“,=Ú k · α§ kα).Ö T/Ͷ0$é˜vXeo^5Kµ (1)¸†:1 · α = α, 1 ∈ F, ∀α ∈ V; (2)(‹Æ:k · (l · α) = (kl) · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (3)©Æ: (k + l) · α = k · α + l · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (4)©Æ: k · (α + β) = k · α + k · β, ∀k ∈ F, α, β ∈ V. K°(V, +, ·)¥ÍçF˛òáÇ5òm. œ~·ÇrV•˜v±˛8^5üÖµ4\{9Ͷ¸´$éß⁄ °èÇ5$é. Ç5$é¥Ç5òm üßßáN 8‹•ÉÉm ,´ìÍ(. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 4 / 177
1.1节：线性空间 ⊙定义一个从F×V到Ran(A)CKer(A*)的代数运算，称为数乘，记为 “+”,即对任意k∈F和任意α∈V,都存在唯一的B∈V,使 得B=k·a(为了表示方便，通常省略数乘符号，即将k·a写成kα).且 该“数乘”运算满足如下四条规则： (1)单位元：1·a=a,1∈F,a∈V; (2)结合律：k·(I.a)=(k·a,k,1∈F,a∈V; (3)分配律：(k+)·a=k·a+1·a,k,l∈F,a∈V; (4)分配律：k·(a+)=k·a+k·B,k∈F,a,B∈V. 则称(V,+,)是数域F上的一个线性空间 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日41177
1.1!: Ç5òm 2 ½¬òálF × VRan(A) ⊥ ⊆ Ker(A ∗ )ìÍ$é,°èͶ, Pè /+0, =È?ø k ∈ F ⁄?ø α ∈ V,—3çò β ∈ V, ¶ β = k · α(è L´êB,œ~é—ͶŒ“,=Ú k · α§ kα).Ö T/Ͷ0$é˜vXeo^5Kµ (1)¸†:1 · α = α, 1 ∈ F, ∀α ∈ V; (2)(‹Æ:k · (l · α) = (kl) · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (3)©Æ: (k + l) · α = k · α + l · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (4)©Æ: k · (α + β) = k · α + k · β, ∀k ∈ F, α, β ∈ V. K°(V, +, ·)¥ÍçF˛òáÇ5òm. œ~·ÇrV•˜v±˛8^5üÖµ4\{9Ͷ¸´$éß⁄ °èÇ5$é. Ç5$é¥Ç5òm üßßáN 8‹•ÉÉm ,´ìÍ(. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 4 / 177
1.1节：线性空间 ⊙定义一个从F×V到Ran(A)CKer(A*)的代数运算，称为数乘，记为 “+”,即对任意k∈F和任意α∈V,都存在唯一的B∈V,使 得B=k·a(为了表示方便，通常省略数乘符号，即将k·α写成ka).且 该“数乘”运算满足如下四条规则： (1)单位元：1·a=a,1∈F,a∈V; (2)结合律：k·(I·a)=(k·a,k,1∈F,a∈V; (3)分配律：(k+)·a=k·a+1·a,k,I∈F,a∈V; (4)分配律：k,(a+)=k·a+k·B,k∈F,a,B∈V. 则称(V,+,)是数域F上的一个线性空间. 通常我们把V中满足以上8条性质且封闭的加法及数乘两种运算，统 称为线性运算.线性运算是线性空间的本质，它反映了集合中元素之间 的某种代数结构 矩阵理论课程组（数学科学学院】 矩阵理论 2020年9月7日 4/177
1.1!: Ç5òm 2 ½¬òálF × VRan(A) ⊥ ⊆ Ker(A ∗ )ìÍ$é,°èͶ, Pè /+0, =È?ø k ∈ F ⁄?ø α ∈ V,—3çò β ∈ V, ¶ β = k · α(è L´êB,œ~é—ͶŒ“,=Ú k · α§ kα).Ö T/Ͷ0$é˜vXeo^5Kµ (1)¸†:1 · α = α, 1 ∈ F, ∀α ∈ V; (2)(‹Æ:k · (l · α) = (kl) · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (3)©Æ: (k + l) · α = k · α + l · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (4)©Æ: k · (α + β) = k · α + k · β, ∀k ∈ F, α, β ∈ V. K°(V, +, ·)¥ÍçF˛òáÇ5òm. œ~·ÇrV•˜v±˛8^5üÖµ4\{9Ͷ¸´$éß⁄ °èÇ5$é. Ç5$é¥Ç5òm üßßáN 8‹•ÉÉm ,´ìÍ(. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 4 / 177