m-1+h(b n-+b2fn-2+ +b fn-k 上式称为显式阿当姆斯( Adams公式,其余式为 R(m, h)=h l(l1)…(u+k-1) k,,(k+1 () k h k+1,(k+1 l(l-1)…(+k-1) Bh k+1,(k+1) (5) ∈(x k2 n-1 其中的系数值b(i=1,2,,k和误差常数B为(课本P216) k b b 2 b 3 b 4 B 23/2 1/2 5/12 323/12-16/125/12 3/8 455/24-59/2437/24-9/24251/720
上式称为显式阿当姆斯(Adams)公式，其余式为 y y h b f b f b f n n n n k n k = + + + + − − − − 1 1 1 2 2 ( ) 1 ( 1) 0 1 1 ( 1) 0 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( , ) ( ) ! ( 1) ( 1) ( ) ! ( ) ( , ) k k n k k k k n k n u u u k R x h h h y du k u u u k h y du k Bh y x x + + + + + − − + + − = + + − = = 其中的系数值bi (i=1,2,…,k)和误差常数B为（课本P216） k b1 b2 b3 b4 B 2 3/2 -1/2 5/12 3 23/12 -16/12 5/12 3/8 4 55/24 -59/24 37/24 -9/24 251/720
511利用数值积分的方法 考虑方程y=f(x,y)在区间[xn1,x上的积分 、 f(x, y)dx 即 v(,)=y(xm-)+ f(x, y)dx 如果通过等距节点xn,xn1…,xnk上的已知值f,f1;…,f 作 Lagrange插值,代入(*)式可得隐式阿当姆斯公式 y=yn+(2D+b+…+bm 其余式为R(xn,h)=Bh4+y4+2(2) 其中系数值与误差常数见课本P217表74 系数绝对值较小,因而隐式公式比显式公式的舍入误差小
5.1.1利用数值积分的方法 1 1 ( , ) n n n n x x x x y dx f x y dx − − = 考虑方程 y f x y = ( , ) 在区间 [ , ] x x n n −1 上的积分 即 1 1 ( ) ( ) ( , ) (*) n n x n n x y x y x f x y dx − = + − 如果通过等距节点 上的已知值 作Lagrange插值，代入（*）式可得隐式阿当姆斯公式 1 , , , n n n k x x x − − 1 , , , n n n k f f f − − 其余式为 ( ) * * * n n n n k n k 1 0 1 1 y y h b f b f b f = + + + + − − − * 2 ( 2) ( , ) ( ), ( , ) k k R x h B h y x x n n k n + + = − 其中系数值与误差常数见课本P217表7.4。 系数绝对值较小，因而隐式公式比显式公式的舍入误差小
512基于泰勒展式的待定系数法 对于微分方程y=f(x,y),考虑泰勒展式 y(r,),y( x.+ x)+ h 2! 得 y(xn+h)≈y(xn)+ 即得欧拉公式(k=1时的阿当姆斯公式,属线性单步法): f(rn, y n+=Vn+ h=yn+h·f(x2,yn)
5.1.2 基于泰勒展式的待定系数法 对于微分方程 得 即得欧拉公式（k=1时的阿当姆斯公式，属线性单步法）： y f x y = ( , ), 考虑泰勒展式 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! n n n n y x y x y x h y x h h + = + + + ( ) ( ) ( ) 1! n n n y x y x h y x h + + 1 ( , ) 1 ( , ) ! n n n n n n n y y h f x y f x y y h + = + = +
确定线性多步法计算公式的一般方法—待定系数法 考虑线性多步法的局部截断误差公式 R(n,h)=aky(n+k),yn+k yx)1∑ay(xn,)+1∑B/(xm ∑αy(xm)-b∑Bf 0 0 要求该计算公式是p阶的。 将上式中y(x小以及y(x在x处展开 y (xn,+jh)=y'(x, ) jhyx )(y?)(hr3 v(n +jh) =y(,)+jhy(n)+y( y"( x)+ y"( x)+ 2
确定线性多步法计算公式的一般方法——待定系数法 1 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k n k k n k k k k n k j n j j n j j j k k j n j j n j j j R x h y x y y x y x h f x y x h f x + + − + + + = = + + = = = − = − − + = − 考虑线性多步法的局部截断误差公式 要求该计算公式是p阶的。 将上式中y(xn+j)以及y’(xn+j)在xn处展开 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2! 3! n n n n n jh jh y x jh y x jhy x y x y x + = + + + + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ! n n n n jh y x jh y x jhy x y x + = + + +
代入上述误差公式,合并同类项得 R(In, h)coy(n)+chy(n)++c,hyP(n)+ 其中 C=Cn+c1+…+a C1=a1+2a2…+kak-(Bb+B+…+B) C1+2a,…+k (A1+2B2+…+kB (q-1)! (q=2,3,…) 要使该计算公式是p阶的,只要令c=C1=…=CPp=0,cp+≠0 据此求出a1,B,(=0,1,…k)即可
( ) 0 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) p p R x h c y x c hy x c h y x n n n p n = + + + + 其中 ( ) 0 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 2 2 ( ) 1 1 2 ( 2 ) ! ( 1)! ( 2,3, ) k k k q q q q q k k c c k c k k q q q − − = + + + = + + − + + + = + + − + + + − = 要使该计算公式是p阶的，只要令 0 1 1 0, 0. p p c c c c = = = = + 代入上述误差公式，合并同类项得 据此求出 j j , ( 0,1, , ) j k = 即可