第七章弯曲变形
第七章 弯曲变形
$7.1挠曲线近似微分方程 1.概念 挠曲线:当梁在xy面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为面内xy 的一条光滑连续曲线,称为梁的挠曲线。 挠度:横截面的形心在垂直于梁轴(x轴)方向的线位移,称 为横截面的挠度,并用符号ⅴ表示。 f(x) y 转角:横截面的角位移,称 为截面的转角,用符号b表示。A 6 B→-X tgb dr(r) 0≈gO=f(x) 因此,确定梁的挠曲线方程,就确定了梁的仼一截面的挠度和转角
$7.1挠曲线近似微分方程 x x L P A v B B’ y 挠曲线：当梁在xy面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内xy 的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。 挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（ x轴）方向的线位移，称 为横截面的挠度，并用符号 v 表示。 = f (x) 转角：横截面的角位移，称 为截面的转角，用符号 表示。 f (x) dx d tg ' = = ( ) dx dv t g = f x = ' 因此，确定梁的挠曲线方程，就确定了梁的任一截面的挠度和转角 1．概念
2.挠曲线近似微分方程 梁轴的曲率半径与弯矩的关系为 M(x) 6 x El B+X 将微分弧段ds放大,有如下关系: P L ds=plde d0 1 M (x)EI 由于挠度很小,d≈欧上式可以写成, de M dx EI de M 考虑到弯矩的符号与 de 致,上式写成ax=EI dv M(x) 将≈代入上式得出 dx El
2．挠曲线近似微分方程 梁轴的曲率半径与弯矩的关系为 EI M x x ( ) ( ) 1 = 将微分弧段ds放大，有如下关系： ds = d ( ) EI M ds x d = = 1 由于挠度很小， ds dx EI M dx d = 考虑到弯矩的符号与 dx d 一致，上式写成 EI M dx d = 将 dx dv 代入上式得出 EI M x dx dv ( ) 2 '' = x x L P A v B B’ y 上式可以写成
S72积分法求弯曲变形 1.转角方程 M(x) 转角和挠曲线方程对卩 两侧积分,可得梁的转角方程 El M(x) 0(x)=v=|-ax+C El 再积分一次,即可得梁的挠曲线方程 v(x)= M(r) dx dx+Cx+D El 式中C和D为积分常数,它们可由梁的约束所提供的已知位移来 确定。 2.积分常数的确定一边界条件和光滑连续性 固定端,挠度和转角都等于零;铰支座上挠度等于零。弯曲变 形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上,有唯一确定 的挠度和转角
$7.2积分法求弯曲变形 EI M x v ( ) '' = dx C EI M x x = v = + ( ) ( ) ' 再积分一次，即可得梁的挠曲线方程 dx dx Cx D EI M x v x + + = ( ) ( ) 式中C和D为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来 确定。 转角和挠曲线方程对 两侧积分，可得梁的转角方程 2．积分常数的确定—边界条件和光滑连续性 固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变 形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定 的挠度和转角。 1．转角方程
例所示简支梁AB受集中力P作用,试讨论它的弯曲变形 y 解:①求反力并列梁的弯矩方程RA A 分两段列AB梁的弯矩方程为: AC段M1(x) b Bx(0≤x1≤a)_ CB段M4x2)=bPx2-Px2-a)(a≤x2≤D ②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分将和两段 的挠曲线近似微分方程及积分结果,列表如下
例 所示简支梁 AB 受集中力 P 作用，试讨论它的弯曲变形。 解：①求反力并列梁的弯矩方程 P l b RA = P l a RA = 分两段列AB梁的弯矩方程为： AC段 1 1 1 ( ) Px l b M x = (0 ) x1 a CB段 ( ) ( ) 2 2 Px2 P x2 a l b M x = − − ②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分 将和两段 的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。 ( ) 2 a x l x y P a b x1 x2 A B C RA RB l