第八章应力状态 分析和强度理论
第八章 应力状态 分析和强度理论
$8应力状态概述单向拉伸时斜截面上的应力 1.应力状态 过一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况的集合, 称为这点的应力状态 2.单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力_N k 斜截面上的应力 P P P P 三 O COSO k cos a 斜截面上的正应力和切应力为 2 a- pa cosc =o cos a ta=po sin a=sin 2a 可以得出=0时Cmx=Oa=时 max 2
$8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态。 P P P P pa a a k k k k k k pa n 2．单向拉伸时斜截面上的应力 A N = cos cos = = = A P A P p a a 斜截面上的应力 斜截面上的正应力和切应力为 2 = cos = cos a pa sin 2 2 a = pa sin = 可以得出 = 0 时 max = 4 = 时 2 max = 横截面上的正应力 1．应力状态
过A点取一个单元体,如果单元体的某个面上只有正应力, 而无剪应力,则此平面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力 主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面,则这样的单 元体称为主单元体。 三个主应力中有一个不为零,称为单向应力状态 三个主应力中有两个不为零,称为二向应力状态。人 三个主应力中都不为零,称为三向应力状态。 主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列, G1≥O2≥σ3
主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列， 1 2 3 过A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力， 而无剪应力，则此平面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单 元体称为主单元体。 三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态 三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。 三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。
$82二向应力状态下斜截面上的应力 任意斜截面上的应力 在外法线n和切线t列平衡方程 o, dA+(t da cos asin a-o, dA cos a) cosa +(T dAsin acosa-(o, dAsin asin a=0 O a X I,dA-(I dAcos a)cosa-(o dA cos asin a +(o, dasin a)cosa+(t dasin asin a=0 根据剪应力互等定理,x=x并考虑到下列三角关系 1 +cos 2a 1-sin 2a cOS SIn a= 2 sin acos=sin 2a 2
$8.2二向应力状态下斜截面上的应力 xy yx y x n t 1．任意斜截面上的应力 在外法线n和切线t上列平衡方程 a dA + ( xydAcos)sin − ( x dAcos) cos + ( yxdAsin ) cos − ( y dAsin )sin = 0 a dA − ( xydAcos) cos − ( x dAcos)sin + ( y dAsin ) cos + ( yxdAsin )sin = 0 根据剪应力互等定理， xy yx = 并考虑到下列三角关系 2 1 sin 2 ,sin 2 1 cos 2 cos 2 2 − = + = 2sincos = sin 2 a a x y xy x y n
简化两个平衡方程,得 0 +o n-6ycosu txy sin 2a asrO sin 2a+t. cos 2a 2 2.极值应力 将正应力公式对a取导数,得如1=2°sm2x+1082z 若a=ao时,能使导数如=0,则 Oxsin 2ao +I cos 2%o=0 2 2T g 上式有两个解:即 和a。±90 在它们所确定的两个互相垂直的平面上,正应力取得极值。 可以证明:一个平面是最大正应力所在的平面,另一个是 最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为
简化两个平衡方程，得 cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + = sin 2 cos 2 2 xy x y + − = 2．极值应力 将正应力公式对 取导数，得 + − = − sin 2 cos 2 2 2 xy x y d d 若 = 0 时，能使导数 = 0 d d ，则 sin 2 cos 2 0 2 0 + 0 = − xy x y x y xy tg − = − 2 2 0 上式有两个解：即 0 和 0 90 在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。 可以证明：一个平面是最大正应力所在的平面，另一个是 最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为