③定义中的N是一个特定的项数,与给定的￡有关。 重要的是它的存在性,它是在￡相对固定后才能确定 的,且由xn-叫<￡来选定,一般说来,E越小,N越 大,但须注意,对于一个固定的E,合乎定义要求的 N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时,关键在 于设法由给定的E,求出一个相应的N,使当n>N 时,不等式n-l<E成立 在证明极限时E,n,N之间的逻辑关系如下图所示 n
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定 的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越 大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的 N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在 于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N 时，不等式|xn－a|＜ε成立。 在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε n ＞ N
④定义中的不等式n-d<E(n>N)是指下面 串不等式 LxN+ak8 xw+2-ak8 N+3 K<8 都成立, 而对 n8 不要求它们一定成立 数列极限的几何意义 VE>0,3N,使得N项以后的所有项 N+1,XN+2,N+3
④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式 − + | | xN 1 a − + | | xN 2 a − + | | xN 3 a 都成立， 而对 | − | x1 a | x − a | N 则不要求它们一定成立 数列极限的几何意义 0,N, 使得 N 项以后的所有项 xN +1 , xN +2 , xN +3 ,
都落在a点的e邻域(a-6,a+E肭内 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 28 -8 +8 d 21 N+2 3 这就表明数列x所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内,同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小,呈现出一种稳定 的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法
都落在a点的ε邻域 (a − ,a + )内 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 x a − a + a 2 1 xN +2 x 2 x xN +1 3 x 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法
例1已知x.=(-1) (m+1)2证明imxn=0 证明 xn-0=。,2< n n 故VE>0要使|xn-0kE 只须使-<E即n> 因此取N 则当n>N时,有 Lxn-0k8 得证lmxn=0 n→0
例1 2 ( 1) ( 1) + − = n x n 已知 n lim = 0 → n n 证明 x 证明 2 ( 1) 1 | 0 | + − = n xn n n 1 1 1 + 故 0 | − 0 | 要使 xn 1 1 n n 只须使 即 因此 = 1 取N 则当n ＞N时，有 | − 0 | xn lim = 0 → n n 得证 x
利用定义验证数列极限,有时遇到的不等式 nd<E不易考虑,往往采用把rn放大的方法。 若能放大到较简单的式子,就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则: ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限 2 2 n+a 例2证明im n→0 证明 n+ a n(n2+a2+n)
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限 例2 证明 lim 1 2 2 = + → n n a n 证明 | 1| 1 2 2 − + − = n n a xn ( ) 2 2 2 n n a n a + + =