间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y:)=0 空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足 方程,满足方程的点都在 曲线上,不在曲线上的点 不能同时满足两个方程
空间曲线及其方程 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 一、空间曲线的一般方程
2 2=1 例1方程组 表示怎样的曲线? 2x+3J+3z=6 解x2+y2=1表示圆柱面, 2x+3y+3z=6表示平面, 2x+3y+3z=6 交线为椭圆
例1 方程组 表示怎样的曲线？ + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面， + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆
a -x 例2方程少(2y2a2表示怎样的曲线? 解 上半球面, 2)2+y2=4圆柱面 交线如图
例2 方程组 表示怎样的曲线？ − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图
、空间曲线的参数方程 x=x(t) y=()空间曲线的参数方程 z=(t) 当给定t=t1时,就得到曲线上的一个点 (x1,y1,x1),随着参数的变化可得到曲线上的全 部点
= = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t = t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点. 空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程
例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行玉 轴的正方向上升(其中、ν都是常数),那么点 M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程 解 取时间t为参数,动点从A点出 发,经过|时间,运动到M点 M在xoy面的投影M'(x,y,0) x= acos ot y=asina Z= vt M 螺旋线的参数方程
动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． A • M M M在xoy面的投影M( x, y,0) x = acost y = asint z = vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o