定理4若A~B,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同 证明由A~B,使PAP=B.故 1-=|pmP-PAP=p(-A)P|=|P-1|-4|P=|-4■ 推论4a若n阶方阵A~A=dag4},则A1,2…n为A的所有n个特征值。 证明因为对角矩阵的特征值即为对角元素 推论4b若A~B,则mA=mB4=|B.(由定理1即得) 若A相似于对角阵A= ,则P-AP=A,即A=PAP-1.于是 =PAP-1.类似可得o(4)=Po(A)P-(参见例5的证明过程).并易得 qp(1) (A)= qp(2) (n) 这样就可以比较简便地计算出A4和q(A)了。(具体例子作为习题 定理5n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明必要性.存在P,使PAP=A=dig{4}:其中1,A2,…,n为A的n个特征 值。上式可写成AP=PA。记P=(mn,n2,…,mn),则成立 An=an 即7是A的特征向量。因为P可逆,故n2,72,…,n线性无关 充分性.若A有n个线性无关的特征向量n1,2…,n满足A7=n,记 ,n) A=diag,) 由必要性证明的推导过程倒推上去,即可得A相似于对角阵
82 定理 4 若 A ～ B ，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同。 证明 由 A ～ B , 使 P AP = B −1 . 故 I − B = P IP − P AP = P I − A P = P I − A P = I − A − − − − 1 1 1 1 ( ) . ■ 推论 4.a 若 n 阶方阵 A ～ = { } diag i ，则 n , , , 1 2 为 A 的所有 n 个特征值。 证明 因为对角矩阵的特征值即为对角元素。■ 推论 4.b 若 A ～ B ，则 trA = trB, A = B . (由定理 1 即得). ■ 若 A 相似于对角阵 = n 2 1 ，则 = − P AP 1 ，即 −1 A = PP . 于是 k A = −1 P P k . 类似可得 1 ( ) ( ) − A = P P （参见例 5 的证明过程）. 并易得 , 2 1 = k n k k k = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 n 这样就可以比较简便地计算出 k A 和 (A) 了。（具体例子作为习题） 定理 5 n 阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 证明 必要性. 存在 P ，使 = − P AP 1 = { } diag i ；其中 n , , , 1 2 为 A 的 n 个特征 值。上式可写成 AP = P 。记 P = ( ) n , , , 1 2 , 则成立 Ai = ii ， 即 i 是 i 的特征向量。因为 P 可逆，故 n , , , 1 2 线性无关。 充分性. 若 A 有 n 个线性无关的特征向量 n , , , 1 2 满足 Ai = ii ，记 P = ( ) n , , , 1 2 ， = { } diag i , 由必要性证明的推导过程倒推上去，即可得 A 相似于对角阵。 ■
推论5若n阶方阵A的n个特征值互异,则A相似于对角阵。 但须注意本推论的逆不成立。例如上节例1中的A有3个线性无关的特征向量,故A相似 于对角阵。但A的3个特征值不互异。 定理6n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是:对于A的每个k.重特征值A.都有k.个线性无关的特 征向量。即r(-A)=n-k 6.3向量的内积与正交矩阵 知识点:向量的内积与正交;向量组的正交化过程:正交矩阵及其性质。 在空间解析几何中两个向量a,b的内积定义为a“b= I al i bl coso,其中lal, lbl分别是a,b的长度,p是a与b的夹角。若在R3中建立直角坐标系后,向量 a={a,a2a3},b={,b2,b3}的内积的计算公式为ab=∑ab 我们现在把内积定义推广到一般n维实向量。 定义3(向量内积)设a=(a1a2…an),B=(b,b2…bn)∈R",则a与B的内积定 义为: (a,B)=∑ab=a"B 向量的内积满足如下性质: )(a,B)=(Ba):(对称性) i)(k1+k2a2B)=k(a,B)+k2(a2,B);(k1,k2∈R)(线性性) i)(a,a)≥0,且(a,a)=0a=0;:(正定性) (a,0)=(,a) 定义4(向量长度)对于a∈R",a的长度(或模)(记作)定义为:
83 推论 5 若 n 阶方阵 A 的 n 个特征值互异，则 A 相似于对角阵。 ■ 但须注意本推论的逆不成立。例如上节例 1 中的 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 相似 于对角阵。但 A 的 3 个特征值不互异。 * 定理 6 n 阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是：对于 A 的每个 i k 重特征值 i 都有 i k 个线性无关的特 征向量。即 i i r( I − A) = n − k . ■ 6.3 向量的内积与正交矩阵 知识点：向量的内积与正交；向量组的正交化过程；正交矩阵及其性质。 在空间解析几何中两个向量 a, b 的内积定义为 a•b =║a║║b║cos ，其中║a║， ║b║分别是 a, b 的长度， 是 a 与 b 的夹角。若在 3 R 中建立直角坐标系后，向量 a={ , , } a1 a2 a3 ，b= { , , } b1 b2 b3 的内积的计算公式为 a•b = = 3 i 1 aibi . 我们现在把内积定义推广到一般 n 维实向量。 定义 3（向量内积）设 T n n T = (a1 ,a2 , ,an ) , = (b1 ,b2 , ,b ) R ，则 与 的内积定 义为： , = = n i aibi 1 = T . 向量的内积满足如下性质： ⅰ） , = , ；（对称性） ⅱ） k11 + k22 , = k1 1 , + k2 2 , ； ( , ) k1 k2 R （线性性） ⅲ） , 0;且 , = 0 = ；（正定性） ⅳ） , = , = 0 ； 定义 4（向量长度）对于 n R ， 的长度（或模）（记作 ）定义为： = , = = n i ai 1 2
量的长度满足如下性质: 1°|a20:且|l=0a=0:(正定性) ka=|k(k∈R)(齐次性) a,B)≤kal:( Cauchy不等式) a1∑a1∑b2 4P+川≤l+f:(三角不等式) (1°,2°的证明用定义;4°利用3°来证明。3°证明如下) 证明当a,B线性相关时,则存在k∈C,使得β=ka或a=kB.若B=ka则 (a, B)=ka, ka)=k(a, a)=ka, a) aB =a, aXB, B= k(a, a)2=k (a, ay 对于a=B类似可证。故当a,B线性相关时,|(a,B)=|: 设a,B线性无关,则M∈R,y=a+1B≠日,由性质ⅲ),(y,y)=(+1,a+1) 0,即(a,a)+2(a,B)+(B,P2>0,即二次实系数方程 (aa)+2a,px+(B,B2=0没有实根故4a,B)2-4(aaNB,B)<0,于是Ka, 当a≠O,B≠θ时 02y≤1.于是引入如下定义: 定义5(向量的夹角)对于a,B∈R",当a≠0,B≠0时,定义a,B的夹角为 (a,B) p=arccos aB (0≤q≤丌) 若(a,B)=0,则称a与B正交,记为a⊥B,这时g= 性质: 1)b⊥a,a∈R
84 向量的长度满足如下性质： 1º 0 ；且 = 0 = ；（正定性） 2º k = k ;(k R) （齐次性） 3º , ； （Cauchy 不等式） 即 = = = n i i n i i n i aibi a b 1 2 1 2 1 4º + + ； （三角不等式） （1º，2º的证明用定义；4º利用 3º来证明。3º证明如下） 证明 当 , 线性相关时，则存在 k C ，使得 = k 或 = k . 若 = k 则 , = , k = k , = k , , , , , 2 2 = = k = k 对于 = k 类似可证。故当 , 线性相关时， , = ； 设 , 线性无关，则 t R， = + t ，由性质ⅲ）， , = + t, + t ＞ 0 ， 即 2 , + 2 , t + , t ＞ 0 ，即二次实系数方程 2 , + 2 , t + , t =0 没有实根,故 4 , 4 , , 2 − ＜0，于是 , ＜ ■ 当 , 时， 1 , . 于是引入如下定义： 定义 5（向量的夹角）对于 n , R ，当 , 时，定义 , 的夹角为： , = arccos ，(0 ) 若 , = 0 ，则称 与 正交，记为 ⊥ ，这时 2 = . 性质： 1） n ⊥, R ;
2)对于a,B∈R",若a⊥B,则|+|2=1k+.(勾股定理 长度为1的向量称为单位向量。非零向量a≠的单位化:ma,几何意义:同方向 上的单位向量。 正交向量组:两两正交的一组非零向量:标准正交向量组:由单位向量组成的正交向量组。 定理7若a1a2,…Om是正交向量组,则a12a2,…,am线性无关 证明设k1a1+k2a2+…+knam=6.用a1与两边作内积得: (a,ka1+k2a2+…+knxm})=(a1,0)=0(=1.2…,m) 由于a1a2…;an正交,即得:k,a,ax)=0,而(a1,a1)≠0,于是k=0.故无关。 正交基:由正交向量组构成的向量空间的基 标准正交基:由标准正交向量组构成的向量空间的基。 定理8在R"中,若a12a2,…,an线性无关(m≥2),则a12a2,…an与某个正交向量组 月,B2,…,Bn等价。且a1…a,与B1…B1等价(2≤t≤m) 证明令B=a1:B2=a2+kB1(k1为待定系数),要使B2⊥B1,则有求成立 (B,B2)=(B,a2+k1B)=(月B,a2)+k1(B1,B)=0 B2a2) 由于月=a1≠0(线性无关),故(1,B)≠0,从而取k=VB,B)·又从上式可得 a1=B1,a2=B2-kB1 表明a1,a2与B1,月2等价 般已求得正交向量组B1,…,B-1与a12…,a1-1等价(2≤≤m).令
85 2) 对于 n , R , 若 ⊥ ，则 2 2 2 + = + .（勾股定理） 长度为 1 的向量称为单位向量。非零向量 的单位化： 1 ，几何意义：同方向 上的单位向量。 正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组。 定理 7 若 m , , , 1 2 是正交向量组，则 m , , , 1 2 线性无关。 证明 设 k11 + k2 2 ++ km m = . 用 i 与两边作内积得： i ,k11 + k22 ++ km m = i , = 0 (i = 1,2, ,m) . 由于 m , , , 1 2 正交，即得： ki i ,i = 0 ，而 i ,i 0 ，于是 ki = 0 . 故无关。 ■ 正交基：由正交向量组构成的向量空间的基； 标准正交基：由标准正交向量组构成的向量空间的基。 定理 8 在 n R 中，若 m , , , 1 2 线性无关 (m 2) ，则 m , , , 1 2 与某个正交向量组 m , , , 1 2 等价。且 t t , , , , 1 与 1 等价 (2 t m) 证明 令 1 =1 ； 2 2 11 = + k （ 1 k 为待定系数）， 要使 2 ⊥ 1 ，则有求成立 1 , 2 = 1 ,2 + k11 = 1 ,2 + k1 1 ,1 = 0 . 由于 1 =1 （线性无关），故 1 ,1 0 ，从而取 1 1 1 2 1 , , k = − 。又从上式可得 1 = 1 ，2 2 11 = − k . 表明 1 2 1 2 , 与 , 等价。 一般已求得正交向量组 1 1 , , t− 与 1 1 , , t− 等价 (2 t m) . 令