D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1985.04.012 北京钢铁学院学报 1985年第4期 一类变系数线性系统解的稳定性 数学第一教研室廖福成 摘要 本文引用向量、矩阵的模，采用纯量Liapunov函数法，得到了变系数线性大 系统的零解嘶近稳定的几个充分条件，即定理】、2和3，并通过严格的理论证明， 对其各自的稳定性参数区域进行了比较。 王慕秋等在文〔1)及文〔2〕中研究了线性常系数大系统及变系数大系统的稳定性。本文 引用向量、矩阵的模，得到比文〔1)、〔2)更好的结果本文要用到Metzler矩阵的一些性 质，关于Metzler矩阵的性质，可参看有关文献，例如〔3)、〔4〕，这里从略。 引理设a>0,b:≥0，Q1>0(i=1,,Y且满足条件三g1=山，则对一切ZE 〔0，∝)有 -a2+含b:2<-含2+含2， 1=1 1-12aa1 当r=1时，其证明见文〔1)。对于一般的r,应用r=1时的结论有 -az2+2b1z=(-a1az2+b2) 1 i-1 1-12aa1 引理得证 考虑变系数线性系统 ()-(88X (1) 其中X,∈R,令n1=,X=(X,,X3)r∈R,A11(t)是n1xn,矩阵，它们在J= (T,∝)上连续，其中tER或t=-∝。 假定 (I)对每个AKx(t),存在nx阶正定对称矩阵Cx使得 入〔ARx(t)CK+CKAxK(t)≤-1(Vt∈J,k=1,…,r) 其中入()表示矩阵的特征值，我们用入K)和入K)分别表示Cκ的最小和最大特征值，于是有 入K)|IXK||2≤XKCkXk≤入K)|IXK12 (2) 其中I川Xx|=√XRXk为向量的Enclid模。 (I)设bK1=min{SUPIIAZ,(t)Ckll,SUPljCxAx1(t)|I}<∝(k,i=1,…, E 101
北 京钢铁 学院 学报 年 第 期 一类变系数线性系统解的稳定性 数学第一 教研 室 廖福成 摘 要 本文 引用 向量 、 矩 阵的模 ， 采 用纯量 函数法 ， 得 到 了变系数 线性大 系统 的零 解渐近 稳定 的几 个充分 条件 ， 即 定 理 、 和 ， 并 通过 严 格 的理 论 证 明 ， 对 其各 自的稳定性 参数 区域进行 了 比较 。 王慕秋等在 文 〔 〕及文 中研 究 了线性常 系数大系统 及变系数大系统 的稳定性 。 本文 引用 向量 、 矩 阵的模 ， 得 到比 文 〔 〕 、 〕更好 的结采汕 本文 要用 到 矩阵 的一些性 质 ， 关于 人仕 矩 阵的性质 ， 可 参 看 有关文献 ， 例如 〕 、 〕 ， 这 里从 略 。 ‘ 引理 设 ” ， ， ， 仪 ， ” ‘ “ ‘ ， “ 一 丫 且 满 足 条件 乳梦 一 ’ ， 则对一 切 〔 〔 ， 沉 有 一 “ 艺 一 生 一 于 蓄 当 时 ， 其证 明见文 〕 。 对于 一般 的 ， 应 用 时的结论有 一 “ 艺 一 艺 一 一 一 一 竺」鱼 “ 一 止玉一 于 砚 乏 爹 引理得证 考虑变 系数线 性系统 … 、丫 ‘ 、、 、 、了， ， … … 、了、 一 、、 · 了、 了 戈… 其 中 〔 ” ， 艺 ， ， ， … ， 百 任 ” ， 是 ， ，矩阵 ， 它们在 二 ‘ ， 上连续 ， 其 中 〔 或 一 二 。 假定 对每个 ， 存在 阶正定 对称 矩 阵 使得 入〔 聋 〕 一 〔 ， ， … ， 其 中入 表 示矩阵 的特 征值 ， 我们 用 侧 和 划 分别表 示 的最 小和最大 特 征 值 ， 于是 有 入 、 ， “ 妻 久奋， “ 其 中 日 二 、 走 、 为 向量 的 模 。 ‘ 贾’ 设 ‘ 二 ， ‘ 警尸 乏 ‘ ‘ 一 了 ‘ ‘ “ ， “ ， ‘ ‘ ， 一 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1985．04．012
ri卡k),其中的III为矩阵的模，对任意矩阵A,定义为HAI=SUPI川AXI川。 f I x I I 1 注1可以证明 IXA(t)CkXklbxXxlX: (3) 注2如果存在正定对称矩阵Cx使得 入〔Axx(t)CK+CKAKK(t)≤-入K<0 则取C=太C,便可使(1)满是。 注3不难证明，对任意mx·矩阵A有 I|A川=V入max(ATA) 定理1在假设(I)(I)之下，如果矩阵 -1 2b12…2b1i, D= 2b21 -1 …2b2r …… 0:中来 2br1 2b,2 -1 稳定（即D之特征值皆有负实部），则系统(1)之零解渐近稳定。 证明对弧立子系统 立x=AKK(t)Xx (4) 取Liapunov函数Vx=XCKXK,则 XA+A(C 所以弧立子系统的零解渐近稳定。Vx沿(1)之轨线求全导数，则有 oX[crAu0+Aic]Xr+2X灯A,ce: ≤-1lXxl川2+22bx1l|Xxll1X,ll(k=1,…,r) (5) 即得到了 (6) (矩阵A≥0，A≥B的定义可参看(4)。 由于D是稳定的Metzler矩阵，所以可找到正对角矩阵C=diag(C:,…,C,)使得DTC+ CD负定。作二次型 v-含c-c,c) 则V在R中正定，且从(6)有 器osce("0rp(I) =xxrcg]i> 102
， 斗 ， 其 中的 日 · 日为矩阵的模 ， 注 可 以证 明 对任意矩 阵， 定义 为 气黔引 日 。 丁 蕊 ， 《 日 日日 ， 注 如 果存在 正定对称 矩 阵 刃 使得 入〔 孟 刃 刃 〕 《 一 入 则取 仗 注 定理 口 ， 便可 使 满足 。 不难证 明 ， 对 任意 矩 阵 有 侧仄丽认灭 助 在假设 之下 ， 如 果 矩阵 一 ， · “ · ， ，、 … ， 一 … … ， 二 几 … …… ， · · · · · · 一 ‘ · 稳定 即 之特 征值 皆有负实部 ， 识 系统 之零解渐近稳定 。 证 明 对弧立子 系统 尤 ‘ ‘ 取 函数 走 ， 则 二 ， 。 ， 、 ， ， ， 、 。 二 ， 豆万 ， 、 一 云 七 八 灭‘ ， 八 元 气‘ ，与 、 一 ，人 一 气任， ‘ 所 以 弧立 子系统的零解渐近稳定 。 ‘ 沿 ‘ 之轨线求全导数 ， 则有 袋 ， ， 、 「 · 二 卜 · · 、 ， ‘ 司 艺 百 乏 是 《 一 日 川 “ 艺 ， 日 川 日 二 ， … ， 段 即得 到 了 产、 。。 、 、、 、、 了 、 一 、 一 了 － 牡 乓 ，、 ‘ ’， 一 日 。 日 日 矩 阵 ， 》 的定义可参看 。 由于 是稳定的 矩阵 ， 所 以可找到正对角矩 阵 ， ， … ， 使得 负定 。 作二次型 、 、刀 口 了 、 二 艺 ， … ， 则 在 ” 中正定 ， 且从 有 一 － 乓 ， ， 、 、 工 ， 二 ’ 丫 日 ， 日 又 犷日 、口、 、 飞 奋 … 、 、、 一 勺 、 日 ， ， … ， 日 日「
从DTC+CD负定知- vl t(1) 负定，由Liapunov定理便知定理成立。证毕。 我们还可以推出以下定理 定理2在假设（【)(I)之下，如果存在一组正数a,(i,j=1,“,r,i牛j),满足条 件之a11=1(i=1,,r),使得矩阵 -_12bi2… 2bi: 2 012 a I r 2bi 、1 中身中 2bi. D= a21 a2r 4a4t 0 4年0…44 2b: 2bia a t I C r2 …1 2 稳定，则系统(1)的零解渐近稳定。 定理3在假设（I)（I)之下，如果存在一组正数a1,(i,j=1,…,r,i卡j),满足条 件之a11=1(i=1,…,r),使得矩阵 12b1 2b1, 2可a12 a1,入可 2b: 1 2b3 D= a21入 5“2xT aarAF) 2b1,2b12 1 a,i入Ta2入 2λ☒) 稳定，则系统(1)的零解渐近稳定。 证明从(5)式，应用引理有 即 <-合IXx+含201x,(K=1,）() dt (1) 装aK1 (a() 如D稳定，则因D是Metzler矩阵，所以可以取到aT=(a1,…,a:)>0使得aTD<0。作R"中 的正定二次型 v=含av,a,a() 则有 lna()oeo(sx4o 所以(1)之零解渐近稳定，定理2得证。 利用(2)，从(7)可得 ()<() 103
户 ， ， 。 ，， 一 ， 一 从 ‘ 七 十 七 贝 足 知一了 ， 贝 正 ， ， 、 、 由 定理便知定理成立 。 证毕 。 我们 还可 以推 出以下 定理 定理 在假 设 之下 ， 如 果存在一组 正数。 ， ， ， ， … ， ， 斗 ， 满足 条 件 艺 ， ， ， ， 使得矩 阵 璧 忍 里 重 里 ， 以 李 要 ， … … 立 稳定 ， 则系统 的零解渐近稳定 。 定理 在假设 之下 ， 如 果存在 一组 正数 ， ， ， 二 ， … ， ， 寺 ， 满足 条 件 爹 “ 一 “ “ ‘ ‘ ， 一 ， 使得矩 阵 、 月 … 、 入厂 入荟” 入荟 ’ 二 ‘ ‘ … 共 入聋 ， ， 入荟” 弃 稳定 ， 则系统 的零解渐近稳定 。 证 明 从 式 ， 应用 引理 有 女，泛 ， 一 － 一 日 ‘ “ 艺 一 今 是 ， … ， 、户毛 忍么 几… ， … ， ， 使得 。 作 ” 中 、 ， ， 、 会又子 、 ，‘ ” 又 如 稳定 ， 则因 力是 矩阵 ，所 以可 以取到 的正定二次型 艺 一， … ， 三 ， ， 则有 一 ， ， 丫 且 · 丫 ， 了 一 “ 一 下、子 ， 二 。 喘 当 斗 所 以 之零解渐近稳定 ， 定 理 得证 。 利用 ， 从 可得 去 纂 、 《
同上面类似可证定理3成立。 定理2和定理3使得我们可以通过α1，的选取，而决定相当大的一类线性系统解的稳定 性。特别，在定理3中取 a11=n2(i,j=1,…,rji+j) n-nI 时，所得结果已扩大了文〔1)、〔2〕所给出的参数稳定性区域，这点是容易证明的，进一步有 定理4如果用UD,U6、UD分别表示由定理1、2,3所决定的参数稳定性区域，则有 U。=U6,U6DUD 证明只须证明两点：(1).D稳定⊙D稳定→D稳定；(2)如果D稳定，则一定能找到满 足定理2中条件的a1,>0使得D稳定。 (1)D稳定中D稳定：注意到D、D都是Metzler矩阵。令C=diag(l/1),…,l/入{r))。 则C>0,所以D稳定三CD稳定。又注意到CD≤D,所以D稳定→方稳定。 D稳定心D稳定：只须证明存在正对角矩阵C使得DTC+CD稳定。 因D稳定，所以可以找到aT=(a1,…,a,)>0使得aTD<0。取C=diag(a1,…,ar)。 考虑二次型f(x)=XT(CD+DTC)X,其中X∈R',则应用引理有 f(x)<2-2buXX -o-on( 从aTD<0知f(x)负定，从而DTC+CD负定。 (2)设D稳定，：先设D(从而D)的所有元素b)+0,D为稳定的Metzler矩阵，所以 存在BT=(B1,…,B,)>0,使得DB<0即 -B1+e1<0(i=1,…,r) .(8) 其中e1=(2bB)(i=1,…,r)取 =2buBI(i,j=1,), e i 则a>0且之a=1(i=1,,r)我们断言，对于这样一组a11,0是稳定的。事实上， 取YT=(β，…，B)T,则YT>0且DY<0。这是因为DY的第i个分量为 (0Y:=号+含2biB时=子(-B明+e }4Q11 2 =号(，+e(-Bi+eK0 如果D中有一些b1,为零，则把这些零换为充分小的正数e,可使所得到的Metzler矩阵 D,稳定。从这个D,出发，依上法选a,得到稳定的D。。把D,中的e换为零得到D,注意到 D≤D,所以D,稳定→D稳定，定理4证华。 104
同上面 类似可证 定理 成立 。 定理 和定理 一 使得我们可 以 通过 二 ，的选取 ， 而决定相 当大的一类线 性系统解的稳定 性 。 特别 ， 在定理 中取 ， 住 ‘ 一，决 一二‘ ‘ ‘ 气 ， ， 白 ， 贯 年 一 时 ， 所 得结果 已扩大 了文 〔 〕 、 〔 〕所 给 出的参数 稳定 性 区域 ， 这点 是 容 易证 明 的 ， 进 一 步有 定理 如果 用 、 会 、 弓分别 表示 由定 理 、 、 所 决定 的参数稳定 性区域 ， 则 有 百 台 ， 台， 石 证 明 只 须证 明两点 ， 乃稳定 心 力稳定中 稳定 如果 稳 定 ， 则一定 能找到满 足定理 中条件 的 ， 。 使得 力稳定 。 乃稳定峥 力稳定 注 意到 、 力都是 矩 阵 。 令 久厂 ‘ ， … ， 久矛 ‘ 。 则 ， 所 以 稳定 稳定 。 又注意到 《 刀 ， 所 以 稳定 办 稳定 。 稳定 心 稳定 只 须证 明存在 正对 角矩 阵 使得 丁 十 稳定 。 月 稳定 ， 所 以可 以找到 “ ，， … ， ， 使 得 。 取 饭 ， ， … ， ， 。 考虑二次型 ， 其 中 〔 厂 ， 则应用 引理 有 艺 〔 一 ， “ 艺 ， ， 】 ， 】 〕 勺 名 ， ， ￡以 。 · 、 介办 工， 以 曰 一 月 · 一 一 、户、 一 … 了、、 六 一 自 从 知 负定 ， 从而 负定 。 设 稳定 ， ，先设 从而 力 的所有元 素 场 · ， 午 。 ， 为稳 定 的 矩 阵 ， 所 以 存 在 田 日 ， … ， 日 ， 使得 日 即 其 中 ， 艺 ，，日， 一 日 ， ， … ， ， 一 ， 取 二 】 二 丝坦 ‘ 匹 ， ， … ， ， 奔 ， 则 。 ，， 且 全 。 ，， 二 ， … ， 我 们 断言 一 今 取 丫 “ 日圣 ， … ， 对于这样一组 ， 是稳定 的 。 事实上 ， 田 ， 则 。且 丫 。 这是 因为 的第 个分量 为 ‘ 一－‘ 口 畜 十 全卫兰上 日卜 扁工 一 日 川 ” 、 ” 二 劫占 ， 一 一 加而 如 果 中有一些 ，，为零 ， 则把这些零 换为充分小 的正数 。 ， 可 使所得 到的 矩 阵 稳 定 。 簇 ， 从这个 出发 ， 依 上法选 ，，得到稳定 的 力 ， 。 一 把 ， 中的 。 换为零得到 力 ， 注意到 所 以 。 稳定峥 力稳定 ， 定 理 证 毕 ’
定理4给出了由定理1、2和3所确定的稳定性参数区城的比较。定理1显然最便于应 用，而且给出最好的稳定性参数区域。 例1考虑常系数线性系统 (9) 其中X,∈R,设 〔AT:+A〕≤-2入1<0(i=1,…,r) 应用定理1可知，如果矩阵 -入：川A12l…|A1f 1川A21|川-入2……1|A2ll e:e,0g年400小…9*…4g |川A,ll川A,21川…-入： 稳定，系统(9)之零解便渐近稳定。 例2考虑系统 X1=-a1(t)X1+b1(t)X X2=-a2(t)X2+b2(t)X1 (10) 04t5tt0小tt4s40+4。+中 X=-an(t)Xn+bn(t)Xn-1 设a1(t)≥a1>0,|b,(t)|≤B,(B1≥0，i=1,…,n),a:(t),b1(t)均为连续函数。由定 理1知如果矩阵 一Q1 0 。n4941 0 Bi B2 -Q2… 0 0 B= 中。。。年年用。0080用中年中年0中年年年年0。 0有年有0”用用书 0 0 -an-10 0 0 B。 a n 稳定，则系统(1Q)之零解渐近稳定。从Metzler矩阵的性质可证B稳定当且仅当 n 8<1 i=1 本文根据研究生毕业论文整理。在此，向指导老师，东北工学院数学系副教授刘溢名、 于学贞表示感谢，辽宁大学数学系雷鸣鎔副教授曾对本文提了有益的意见，也向他表示感谢。 参考文献 〔1)王幕秋，稳定性参数区域之扩大，数学学报，18(1975)，107一122. 〔2)王幕秋、田秀恭，一类变系数系统解的稳定性，应用数学学报，6：4(1983)， 494-504. (3)D.D.Siljak,Large-Scale Dynamic Systems,Amsterdam,The Nether- lands:Elsevier,1978. 〔4)R.J.Plemmons,M一炬阵的特性描述I一非奇异M一矩阵，应用数学与计算数 学，2(1981)，48-55. 105
‘ 定理 给 出了由定理 、 和 所确定 的稳 定性参数 区域 的比较 。 定理 显 然最 便 于应 用 ， 而且 给出最好的稳定 性参数区域 。 例 考虑常系数线 性系统 卜 一 ’ 二 ’ 二 其 中 〔 兮 ， 设 入〔 、 、 〕 一 入、 ， … ， 应 用定理 可 知 ， 如 果矩 阵 一 入 日 ， 日 日 一 入 … 日九 ， … … ， 日 一 入 稳定 ， 系统 之零解便渐近稳定 。 例 考虑 系统 戈 ， 一 ‘ ， 十 ， ’ · 戈 一 … ， … ， … ， … ， ， ‘ … ‘ 二 ， ， … 设 ， ， 理 知如 果 矩 阵 戈 。 一 。 一 ， 日 ， 日 ， 》 ， ， … ， ， ， ， 均为连 续 函数 。 由定 、、 。 ﹃ 、 、、 、 几、 一 、 · 了、、 … 厂 、、 一 氏 日 一 一 一 日 。 一 稳定 ， 则系统 之零解渐近 稳定 。 从 矩 阵的性质可证 稳定 当且仅 当 一 一 日 ， 一 二 ‘ 、 、 ‘ 刁‘ 以 生 本文根据研 究生 毕业 论 文整理 。 在 此 ， 向指导 老师 ， 东北工学 院数学 系副教 授 刘溢 名 、 于学 贞表示感谢 ， 辽宁大学数学 系雷鸣踏 副教授 曾对本 文提 了 有益的意见 ， 也 向他 表示 感谢 。 〔 〕 〕 参 考 文 献 王 慕秋 ， 稳定 性参数 区域 之扩大 ， 数学学 报 ， ， 一 王 慕秋 、 田 秀恭 ， 一 类变 系数 系统解 的稳定 性 ， 应 用数学 学报 ， ， 一 ， 一 ， ， ， ， 一矩阵的特 性描述 一非奇异 一矩 阵 ， 应 用数学 与计 算数 学 ， ， 一 、沪卫、产、 ‘