总体方法误差(2) yn=p(x)+(xny(x)-yn-( n+1 y(x)-y+b/(x(x)-/(xy) L/pXCh=条件)≤(1+)y(x)-y=(+hD)e nl-1Tn+(1+hD)e对一切n成立。 对取定N,由 (x)-y=0,则: esT+(+M)es7T+(+h)(T+(1+h)e、2)≤ T+(+M)+(1+hL)T+…+(1+hL)T
总体方法误差(2) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 ~ , , y , , 1 (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n y hf y hf h f y f Lipschitz hL y hL y y y y x x x x x x x x y y x e y + + − = + − − − + − 由 条件 + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 1 1 n N 0 1 1 ( 1 ) 1 1 1 n n n N N N N N N N N N N hL y hL hL hL hL e e T e x y e e e T T T T T T T hL hL + + − − − − − − + + = − = + + + + + + + + + + + + + 对一切 成立。 对取定 ，由 ， 则：
由局部截断误差|T川=O(h), els7+(+h)T+…+(1+ML)7T (1+)xA=0(h)∑(1+1) (1+hL)-1 1+h-1 O(n2)=O(n) lim(1+hL)M h→>0 lim(1+hl =1im(1+hL)xN-x0=e(xx)与步长h无关常数 Eer方法以O(h)速率收敛:h→>0,e→0
( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 n N N n O N hL T h e T T T − hL = − + + + + + 由局部截断误差 ，则 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 1 1 N N N K k k k k hL hL T O h − − − = = = = + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 N O O h hL hL h − = = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 [ ] 0 lim lim 1 1 lim 1 N h h L h x x N N h L x x x x N h hL hL hL hL e → → − → − = = = − + + + 与步长 无关常数 ( ) → 0, e → 0. Euler 方法以O h 速率收敛：h N
4、微分方程数值解的稳定性 稳定性分析,对计算误差:pn=y1-yn 其中y是y的近似计算值,误差积累会淹没真值 定义:一种数值方法求解模型方程y=λy,其中λ是复常 数。对给定的步长h>0,若计算误差O在计算y (k=12,)时不产生增大的误差,即pn≤p,称对h与 λ这种方法是绝对稳定的 对,h的允许范围内是绝对稳定的 则称绝对稳定区域
4、微分方程数值解的稳定性 其中 是 的近似计算值，误差积累会淹没真值？ 稳定性分析，对计算误差： 1 * 1 * 1 1 1 y y y y n n n n n + + + + + = − ( ) ' n n k n+k n = , 0 1 2 h y y y h k + = 定义：一种数值方法求解模型方程 其中 是复常 数。对给定的步长 ，若计算误差 在计算 ，， 时不产生增大的误差，即 ，称对 与 这种方法是绝对稳定的。 则称绝对稳定区域。 对 ，h的允许范围内是绝对稳定的
Euler法的绝对稳定区域 y=y的Eler算法 In(λh) y=y+nhy 计算值:y=y+Mhy R (Ah) 误差方程:p=p+mD 从而p/,=1+mh 当+M≤1是绝对稳定区域 绝对稳定区域越大,h可选大些,方法适应性越强 如果整个左半平面是绝对稳定区域称A-稳定的
Euler法的绝对稳定区域 * n * n * n n n n / y y y y y y y h h y Euler = + = + = + + 计算值： 的 算法： 1 1 n n n = + h +1 误差方程： 当 是绝对稳定区域 从而 1 1 1 1 + = + + h h n n 如果整个左半平面是绝对稳定区域称 稳定的。 绝对稳定区域越大， 可选大些，方法适应性越强。 A − h Im (λh) -2 -1 0 Re (λh)
二、向后(后退的) Euler方法 用向后差商:y(xm)(xm)=y(x) h 则隐式算法:yn=12+h1(xm,y y(x0)=y0 为避免解非线性方程,与Ewer法结合 ym=y+ hfx,y y"=y,+/(x,y) k=0.1.2
二、向后（后退的）Euler 方法 ( ) , ( ) ( ) 1 1 n n n y y h x x y x + + − 用向后差商： ( ) ( ) = = + + + + x y y y x y y hf n n n n 0 0 1 1 1 , 则隐式算法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = + + + + + + = hf k , , , hf , Euler y y x ,y y y x y n k n n k n n n n n 01 2 1 1 1 1 0 1 为避免解非线性方程，与 法结合：