§2尤拉(Eua)方法 EMer公式 计算公式: dy aJ(x,y)a≤x≤b y =y+h(x y)n=0, y(xo=y y 1,几何意义 由(xy)出发取曲线y=y(x)的切线(存在!),则斜率 由于f(xy3)及(xny)已知,必有切线方程
§2 尤拉（Eular)方法 ( ) 1 0 0 0 0 ( , ) , 0 1, ( ) ( ) n n n n Euler dy f x y a x b hf n , dx y y y y y x y x y x + = = + = = = 一、 公式 计算公式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1 , , f , , y y x f x y x y dy x y dx x x y y = = ，几何意义。 由 出发取曲线 的切线（存在！），则 斜率 由于 及 已知，必有切线方程
由点斜式写出切线方程 y=y+(x-xo =y+(x-xo)f(xo,y) 等步长为h,则x-x0=h,可由切线算出y y=y+hf (xo, y 逐步计算出y=y(x)在xn1,点值 yn=y+b(x,y)n=0,1,2, 注意:这是“折线法”而非“切线法” 除第一个点是曲线切线外,其他点不是! Xo x1x2 X
( ) ( ) y x y ( x x )f ( x , y ) dx dy y x x ,y 0 0 0 0 0 0 0 0 = + − = + − 由点斜式写出切线方程： （ ） 等步长为 ，则 ，可由切线算出 ： y y x ，y x x y hf h h 0 0 1 0 1 1 0 = + − = 0 1 2 1 1 （ ） ，，， 逐步计算出 （ ）在 ，点值 ： = + ， = = + + hf n y y x y y x y x n n n n n 注意：这是“折线法”而非“切线法” 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！ y χ0 χ1χ2 χ3 χ
2、 Euler方法的误差估计 1)局部截断误差 在一步中产生的误差而非累积误差: Tu=yIx 其中1是当y,=y(x,)(精确解!)时 n+1 由Eler法求出的值,即1无误差 将y(xn)在x点7ayor展开 y(xn)=y(x, +h)=y(x,)+hf(xn,y(x,)+ 21() <c<
2、Euler方法的误差估计 ( ) 1 1 1 1 1) ~ ~ ( ) n n n n n n n y y Euler T x y y x y y + + + + = − = 局部截断误差。 在一步中产生的误差而非累积误差： 其中 （精确解！）时 由 法求出的值，即 无误差！ 是当 ( ) y ( ) x x h x x x x x x x n n n n n n n n n y y h y hf y y Taylor 1 / / 2 1 1 2 ( ) ( ) ( , ( )) ( ) + + + + = + = + + 将 在 点 展开：
y,+hf(x,,) n+1 y(x)+hf(x,v(x ) n+1 则Tn=y(xn << y n+1 n+1 令M2=maxy(x)y(x)充分光滑,则 Tn≤M2
( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 2 // 1 1 1 1 ~ , ~ ( ) , ~ 2 n n n n n n n n n n n n n y hf y y hf y y x y x x x y h T x x x y y + + + + + + = + = + 则 = − = ( h ) h T M M y O x y x n a x b 2 2 1 2 / / 2 2 max ( ), ( ) = = + 令 充分光滑，则：
3、总体方法误差(1) 递推方法:从任意两相邻步的总体误差关系 推出总体误差与步长的关系。 由微分方程解的存在唯一性,自然假定f(x,y) 充分光滑,或满足 Lipschitz条件: f(,y(x)f(,y)sLy(x) -y 第n步的总体截断误差记为en=yx)-y”。则对n+1步 en n+1 n+1 n+1 n+1 Tn}+1,-y 以下估计 其中=y(x)+(xr(x) +1
3、 总体方法误差(1) (x (x )) (x y ) (x ) yn n n f n , y n f n , L y Lipschitz , f x y − − 充分光滑，或满足 条件： 由微分方程解的存在唯一性自然假定 （ ， ） 推出总体误差与步长的关系。 递推方法：从任意两相邻步的总体误差关系 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ~ ~ ~ ~ ~ , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y n y y y hf y e x y e x x y y y y y y T y x x x y y + + + + + + + + + + + + + = − + = − − + − = + − − = + 第 步的总体截断误差记为 则对 步： 以下估计 其中