向后 Euler方法收敛条件与截断诶误差 Vm1=y k+ ym=y,+hfxn+1,ym)k=0,1, 2 hIf f n+1 n+ +1 (k <hl 收敛条件0<hL<1 n+1 +1 局部截断误差Tn1=0(h),整体截断误差, 当0-hL<1时:O(h)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 0 1 k k k k n n n n n n k k n n h f f hL hL y y y y x x y y + − + + + + + + − + + = − − − 收敛条件 ( ) ( ) 2 1 0<hL<1 n O O h 局部截断误差 ，整体截断误差， T + = h 当 时： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 , 0,1,2, 1 , n n n n k k n n n hf hf k n y y y x y y y x + + + + = + + = + = 向后Euler 方法收敛条件与截断误差
向后 Euler法的稳定性 对y=4y用向后Euer法:yn=y+hyn 误差公式:p=p+Bpn1 则 n+1 ah 1-ah -h(乙+x)+n22) 1-2R2(Ah)+h 只要R(h)<0贝 因此向后 euler法是A-稳定的。但收敛 要求0<M<1,h仍受限制
向后Euler 法的稳定性 y yn yn yn y Euler h 1 1 / + + 对 = 用向后 法： = + 1 1 + + = + n n n 误差公式： h ( h)( h) h n n − − = − = + 1 1 2 1 1 1 1 1 则 ( ( ) ) + − + − + = = 2 2 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 1 1 R h h h h e n 1 n ( ) 0 1 h Re + 只要 则 要求 仍受限制。 因此向后 法是 稳定的。但收敛 0 hL 1,h Euler A −
、梯形公式 由积分途径:y(xn)=y(x,)+∫f(x,yM =f(x,y 积分用梯形公式,且令:y=y(xn)y=y(x) h n2+1 n+19 同样与 Euler法结合,形成迭代算法,对n=0,1,2, y=y+hfx,,y (k+1) h ym=y t k=0,1,2, n+1
三、梯形公式 ( ) ( ) ( ) 1 1 , n n n n x y y f x y dt x x x + + = + 由积分途径： ( ) ( ) y y ( ( x y ) ( x y )) y x y x n n n n n n n n n n f f h y y 1 1 1 1 1 , 2 , , + + + + + = + + = = 则得： 积分用梯形公式，且令： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = + + = = + = + + + + + f f k , , , h hf Euler n y y x y x y y y x y k n n n n n k n n n n n , 01 2 2 01 2 1 1 1 1 0 1 , , 同样与 法结合，形成迭代算法，对 ，，， ( , ) dy f x y dx （ ） =
梯形公式的收敛性 由迭代算法,对n=0,1,2, Jory,tr(x,y) l3v6-y 2((xm y )+r(xoP 3 m) k=0,1,2,… (k+1) n+1 么/(x-y)y( ) h (k-) n+12 n+1 hL(k) hL y 收敛条件0<<1 2 n+1 2 梯形公式比E法的局部与总体误差均高一阶,e=0(h2) 但每次迭代均多算一次函数值一提高精度的计算代价
( ) 2 0 N 梯形公式比 法的局部与总体误差均高一阶， ， Euler e h = 但每次迭代均多算一次函数值—提高精度的计算代价。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 0 1 2 , 0 1 2 2 , , n n n n k k n n n n n n n hf h f f k , , , y y y x y y y y x x + + + + + = = + = + + = 由迭代算法，对 ，，， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 0 1 2 2 k k k k n n n n n n k k n n h f f hL hL y y y y x x y y + − + + + + + + − + + = − − − 收敛条件 梯形公式的收敛性
梯形公式的稳定性 D+2((xm,)+5(xmr) 对1=y用梯形公式 h y=y+o(ynty 2 I h 1+R2(4h)+h22 , 几h 1-R(4h)+h22 4 当R()<0时≤1,梯形公式是A-稳定的
梯形公式的稳定性 ( ) − + + + = − + = = + + + + + 2 2 2 2 4 1 1 ( ) 4 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 R h h R h h e e h h h n n n n n n ( ) 0 1 A - 当 时 +1 ，梯形公式是 稳定的。 n n Re h ( ( ) ( 1 )) 1 1 , 2 , n n n n n n h y y y y + + f f x x + = + + / 1 1 2 n n n h y n y y y y y + + 对 用梯形公式 ： ） = = + （ +