11由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度adadE(r) =-Vβ= -(lea0rsine gC(e,2cos0+é.sin0)4元80r3等位线方程：pcoser2=C'cos04元80r2电场线微分方程：rdedrE.Ee电场线将E。和E.代入上式，解得E线方程为等位线电偶极子的场图r =C, sin
11 E r E r r d d 2 1 r C sin 将 E 和 Er 代入上式，解得E线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度 ( 2cos sin ) 4 3 0 e e r q r ) sin 1 1 ( ) ( r e r e r E r er 'cos 2 C r C r p 2 4 0 cos 等位线 电场线 电偶极子的场图 电场线微分方程： 等位线方程：
12例3.1.2求均匀电场的电位分布解选定均匀电场空间中的一点0为坐标原点，而任意点P的位置矢量为r，则Xβ(P)-β(o) = [E·dl = -[E·dr = -Er若选择点o为电位参考点，即(o)=0，则NtEβ(P)=-Er在球坐标系中，取极轴与E,的方向一致，即 E。=é,E。，则有β(P)=-E.r =-é..r E= -Eorcos0在圆柱面坐标系中，取E.与x轴方向一致，即E。=é,E。，而=é,p+é,z, 故 0(P)=-E.r=-é,·E(é,p+e.z2)=-Eopcos
12 解 选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点P 的 位置矢量为r，则 0 0 0 ( ) ( ) d d P P o o P o E l E r E r 若选择点o为电位参考点，即 ( ) 0 o ，则 0 ( ) P E r 0 0 0 ( ) cos P E r e r E E r z 在球坐标系中，取极轴与 的方向一 致，即 E e E 0 0 z ，则有 E0 z r e e z 0 0 0 ( ) ( ) cos P E r e E e e z E x z 在圆柱面坐标系中，取 与x轴方向一致，即 ，而 ，故 E0 E e E 0 0 x E0 x z o P r 例3.1.2 求均匀电场的电位分布
13例3.1.3求长度为2L、电荷线密度为P.的均匀带电线的电位解采用圆柱面坐标系，令线电荷与z轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与Φ无关(p,Φ,z)在带电线上位于z'处的线元dl"=dz，它到点 P(p,Φ,z)的距离 R=/p?+(z-z')R则ZP(r)=dzdl'= dz'4元80+(z-z)Pio- In[2' - z +1+(z-z)4元80x+(z-L)? -(z-L)10In4元802 +(z +L)2 -(z +L)
13 x y z L -L ( , , ) z z' d d l z R z 解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于 坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则 2 2 R z z ( ) d d l z P z ( , , ) 0 2 2 0 1 ( ) d 4 ( ) L l L r z z z 0 2 2 0 ln[ ( ) ] 4 L l L z z z z 2 2 0 2 2 0 ( ) ( ) ln 4 ( ) ( ) l z L z L z L z L 例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 l0 的均匀带电线的电位
14在上式中若令L一→80，则可得到无限长直线电荷的电位。当L>>R时，上式可写为+2+1Pio_ln10Pr4元802元802元80C+L当L一→8时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上则有一个任意常数，+（2元80?并选择有限远处为电位参考点。例如，选择p=a的点为电位参考点，则有2L1010InIn()=2元02元80aO
14 2 2 2 2 000 2 2 000 2 ( ) ln ln ln 422 lll L L L L L r L L 在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 L R 时，上式可写为 L 当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区 域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上 一个任意常数，则有 L 0 0 2 ( ) ln 2 l L r C 并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有 0 0 2 ln 2 l L C a 0 0 ( ) ln 2 l a r
15电位的微分方程5.标量泊松方程在均匀介质中，有V.D=p=V.E=P/8V0=-E=-VΦ拉普拉斯方程在无源区域，p=0
15 在均匀介质中，有 5. 电位的微分方程 2 在无源区域， 0 E D E 0 2 标量泊松方程 拉普拉斯方程