第一章矢量分析主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理-5.格林定理1.标量场的方向导数与梯度矢量场的惟一性定理6.2.矢量场的通量与散度7.亥姆霍兹定理3.失量场的环量与旋度8.正交曲面坐标系4.无散场和无旋场
第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
（一）矢量代数1.标量和失量标量一个只用大小描述的物理量失量：一个既有大小又有方向特性的物理量常用黑体字母或带箭头的字母表示量的几何表示：一个失量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示:A=é,A=eMAA矢量的大小模：A=|A失量的单位失量：A矢量的几何表示
2 1. 标量和矢量 矢量的大小模： A A = 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A e A = 矢量的代数表示： A e A e A = = A A （一）矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量， 常用黑体字母或带 箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示。 A 矢量的几何表示
2.失量用坐标分量表示A=Ae. +Aé, +AeA = AcosαA,= AcosβA, = Acosy1A= A(e, cosα+é, cos β+é. cosy)e, =e cosα +e,cosβ+e cosyx
3 A A e A e A e = + + x x y y z z A A A A A A x y z = = = cos cos cos ( cos cos cos ) A A e e e = + + x y z cos cos cos A x y z e e e e = + + 2.矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y
3.失量的运算(1）失量的加法和减法：A+B=é(A ±B,)+é,(A,±B,)+é.(A, ±B.)BA(2）失量的乘法运算量与的夹角kA=-ékA, +é,kA, +ékA失量的点积A B= ABcosO = AB, + A,B,+ A.BA.B-B.A失量的标积符合交换律A/ /BA·B=ABAIB>A·B=0e, e, =e, e. =e. e. -0er.er =e,é, =e..é =l
4 （2）标量乘矢量 (2)矢量的乘法运算 x x y y z z kA e kA e kA e kA = + + A B B A = ——矢量的标积符合交换律 1 x x y y z z e e e e e e = = = 0 x y y z z x e e e e e e = = = A B q 矢量 A 与 的夹角 B A B ⊥ A B = 0 A B / / A B AB = 3.矢量的运算 ( ) ( ) ( ) A B e A B e A B e A B = + + x x x y y y z z z (1)矢量的加法和减法： cos A B AB A B A B A B q x x y y z z = = + + 矢量的点积
矢量的失积（叉积）AxB=é ABsin0用坐标分量表示为AxB=é(AB. -AB,)+é,(AB -AB)+e(AB,-A,B)写成行列式形式为exteeAxBAxB=A A,ABB,B,BABsinAAxB=-B×AA量量与B的叉积
5 矢量的矢积（叉积） sin A B e AB = n q ( ) ( ) ( ) A B e A B A B e A B A B e A B A B = − + − + − x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z e e e A B A A A B B B = A B B A = − q AB sin q A B B A 矢量 A 与 的叉积 B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为