自动控制系统及应用 图44常见系相曲线 由于绘制极坐标图需逐点计算和描绘,而且图形又不规则,特别是在环节串联,频率特性相乘 时,计算工作量更大,当调整参数时,图形变更很不方便,因此,它的应用受到限制,本节也就不 再展开叙述。下面重点介绍工程上广泛采用的对数坐标图,即Bode图 4.2.2频率特性的对数坐标图 频率特性的对数坐标图又称Bodε图。它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成。它们的横 坐标是按频率O的以10为底的对数分度,如图45所示。由图45可知,O的数值每变化10倍, 在对数坐标上变化一个单位。即频率O从任数值a增加(减小)到a=10mn(1=)时 的频带宽度在对数坐标上为一个单位,将该频带宽度称为十倍频程,通常以“d”表示。注意,为 了方便,其横坐标虽然是对数分度,但是习惯上其刻度值不标ω值,而是标真数ω值 十倍频程 0.10.20.40.81 图45Bode*标 对数幅频特性图的纵坐标采用均匀分度,坐标值取G()幅值的对数,坐标值为 L(o)=20gGo),其单位称作分贝,记作dB 对数相频特性图的纵坐标也是釆用均匀分度,坐标值取G()的相位角,记作(o), q(o)=∠G(o),单位为度。 用Bode图表示频率特性有如下优点: (1)可以将幅值枏乘转化为幅值相加,便于绘制多个环节串联组成的系统的对数频率特性图。 (2)可采用渐近线近似的作图方法绘制对数幅频图,这给绘图带来了很大方便。 3)由于横坐标采用对数分度,所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。尤其是低频段 的扩展,对工程设计具有很重要意义 1.典型环节的Bode图
自动控制系统及应用 124 由于绘制极坐标图需逐点计算和描绘，而且图形又不规则，特别是在环节串联，频率特性相乘 时，计算工作量更大，当调整参数时，图形变更很不方便，因此，它的应用受到限制，本节也就不 再展开叙述。下面重点介绍工程上广泛采用的对数坐标图，即Bode图。 4．2．2 频率特性的对数坐标图 频率特性的对数坐标图又称 Bode 图。它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成。它们的横 坐标是按频率 的以10为底的对数分度，如图4.5所示。由图4.5可知， 的数值每变化10倍， 在对数坐标上变化一个单位。即频率 从任一数值 0 增加（减小）到 1 =100 （ 10 0 1 = ）时 的频带宽度在对数坐标上为一个单位，将该频带宽度称为十倍频程，通常以“dec”表示。注意，为 了方便，其横坐标虽然是对数分度，但是习惯上其刻度值不标 lg 值，而是标真数 值。 对数幅频特性图的纵坐标采用均匀分度，坐标值取 G(j) 幅值的对数，坐标值为 L() = 20lgG(j) ，其单位称作分贝，记作dB。 对数相频特性图的纵坐标也是采用均匀分度，坐标值取 G(j) 的相位角，记作 () ， () = G(j) ，单位为度。 用 Bode图表示频率特性有如下优点： （1）可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制多个环节串联组成的系统的对数频率特性图。 （2）可采用渐近线近似的作图方法绘制对数幅频图，这给绘图带来了很大方便。 （3）由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。尤其是低频段 的扩展，对工程设计具有很重要意义。 1． 典型环节的Bode图 图6.4 常见系统的幅相频率特性曲线 0 Re Im Im Re 0 Im 0 Re 0 Im Re 图 4.4 常见系统的幅相频率特性曲线 图 4.5 Bode图横坐标 0.1 0.2 0.4 0.8 1 2 4 6 8 20 40 60 80 100 0 1 2 10 一个十倍频程 一个十倍频程 lg 图6.5 Bode图横坐标 -1
自动控制系统及应用 (1)比例环节 比例环节的频率特性为: 其对数幅频特性和对数相频特性分别为 20lgK LO=201g K q()=0 可见,比例环节的对数幅频特性是一条高度等于 20lgK的水平直线:其对数相频特性是与0重合的 条直线,如图46所示(图中K=10)当K值改变时, 只是对数幅频特性上下平移,而对数相频特性不变。 囝46比的Bode图 (2)积分环节 积分环节的频率特性为: 1 对数幅频特性为 L(0=201=20g1=-20g (4.19) 对数相频特性为 q(o)=∠G(jo)=tan-lo (420) 由式(419)可知,每当频率变化10倍频程时,对数幅频特性就下降20dB,故积分环节的对 数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为-20dB/dec的直线。当O=1时,L(o)=0 即在此频率时,积分环节的对数幅频特性曲线与0dB线相交,如图47所示。积分环节的对数相频 特性曲线在整个频率范围内为条-900的水平线 . 20dB/dec L(o) 20dB/dec 图47积分环的Boe图 图48微分环的Bode图 (3)微分环节
自动控制系统及应用 125 （1）比例环节 比例环节的频率特性为： G j K ( ) = 其对数幅频特性和对数相频特性分别为： L K ( ) 20lg = o ( ) 0 = 可见，比例环节的对数幅频特性是一条高度等于 20lg K 的水平直线；其对数相频特性是与0 0重合的一 条直线，如图4.6所示（图中K=10）。当K值改变时， 只是对数幅频特性上下平移，而对数相频特性不变。 （2）积分环节 积分环节的频率特性为： j G j 1 ( ) = 对数幅频特性为 20lg 1 20lg 1 ( ) = 20lg = = − j L （4.19） 对数相频特性为 1 0 1 ( ) ( ) tan 90 0 G j − − = = = − （4.20） 由式（4.19）可知，每当频率变化 10 倍频程时，对数幅频特性就下降 20dB，故积分环节的对 数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为−20dB dec 的直线。当 =1 时， L() = 0 ， 即在此频率时，积分环节的对数幅频特性曲线与0dB线相交，如图4.7所示。积分环节的对数相频 特性曲线在整个频率范围内为一条 0 − 90 的水平线。 （3）微分环节 20 0 40 -6 -20 0.01 0.1 1 2 10 60 -20dB/dec 0.1 0°0.01 1 10 90° -90° -180° 图6.7 积分环节的Bode图 图 4.7 积分环节的 Bode图 40 20dB/dec 图6.8 微分环节的Bode图 1 0°0.1 90° 10 0 -20 20 100 1000 0.1 1 10 100 1000 图 4.8 微分环节的 Bode图 图 4.6 比例环节的Bode图 0 0° 20lg 10° 20 1 10 100 1 10 100 图6.6 比例环节的Bode图
自动控制系统及应用 微分环节的频率特性为: G(o=jo L(o)=20go=20g (421) q()=∠G(o) 上述公式与积分环节的对应式(419)(420)相比较,仅相差一个负号。故微分环节的对数幅 频特性为过点(1,0),斜率为20dB/dec的一条直线。对数相频特性恒等于90°。如图48所示。 4)惯性环节 惯性环节的频率特性为: 1+j7 其对数幅频特性和对数相频特性分别为: L()=20l Ig v1+T 当O从0→∞时,可计算出相应的L(o)和(O),并可绘出相应的特性曲线。在工程上常采 用近似作图法来画对数幅频曲线,即用渐近线近似表示 若令 当O<<ω-时,则 L()=201g01-20lg√a12+o2≈0dB (425) 所以,对数幅频特性的低频渐近线为一条OB直线,它止于点(an,0) 当O 时,则 L(o)≈20lga1-20gO (426) 若将O=n代入式(426),得 L(o) 所以,对数幅频特性的高频渐近线是一条始于点(On,0),斜率为-20dB/dec的斜直线。 显然,O1是低频渐近线与高频渐近线的交点处的频率,称为转角频率。 惯性环节的Bode图如图49所示。图中也绘出了精确曲线
自动控制系统及应用 126 微分环节的频率特性为： G(j) = j L() = 20lg j = 20lg （4.21） 1 o ( ) ( ) tan 90 0 G j − = = = （4.22） 上述公式与积分环节的对应式（4.19）、（4.20）相比较，仅相差一个负号。故微分环节的对数幅 频特性为过点（1，0），斜率为 20dB dec 的一条直线。对数相频特性恒等于 0 90 。如图4.8所示。 （4）惯性环节 惯性环节的频率特性为： jT G j + = 1 1 ( ) 其对数幅频特性和对数相频特性分别为： 2 2 20lg 1 1 1 ( ) 20lg T jT L = − + + = （4.23） 1 1 ( ) tan 1 T jT − = = − + （4.24） 当 从 0 → 时，可计算出相应的 L() 和 () ，并可绘出相应的特性曲线。在工程上常采 用近似作图法来画对数幅频曲线，即用渐近线近似表示。 若令 T T 1 = ，当 T 时，则 2 2 T T L( ) 20lg 20lg 0dB = − + （4.25） 所以，对数幅频特性的低频渐近线为一条0dB直线，它止于点（ T ，0）。 当 T 时，则 T L( ) 20lg 20lg − （4.26） 若将 = T 代入式（4.26），得 T L( ) 0dB = = 所以，对数幅频特性的高频渐近线是一条始于点（ T ，0），斜率为−20dB dec 的斜直线。 显然， T 是低频渐近线与高频渐近线的交点处的频率，称为转角频率。 惯性环节的Bode图如图4.9所示。图中也绘出了精确曲线