水人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件2 尚本 x01+X2C2+xnQ,=0 显然，下列四个命题等价： (1)方程（3.6.1)有非零解； (2)存在不全为零的数x,x2,…,xn 使(3.6.2）成立 (3)向量组a,c,,a,线性相关； (4)R(A=R(@1,02,,Qn)<n 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快东学日
以人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件 2 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 0. x1 1 + x2 2 +xn n = 显然，下列四个命题等价： (1) 方程（3.6.1）有非零解； (2) 存在不全为零的数 , , , 1 2 n x x x 使（3.6.2）成立； （3）向量组 n , , , 1 2 线性相关； （4） R(A) = R(1 ,2 , ,n ) n
水人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件3 尚本 于是又从一个角意得出下面的结论（即定理 3.1.2） 444444444404t444444440g 定理3.6.1设A是m×n矩阵，则齐次线性方程 组AX=O有非零解的充分必要条件是R(0<n■ 华水华米华米中本华中中华水华华华中中水年年华单华有华中*中华华华单华年中年水中中年年有有华*中4中中中华华年中中中年单年年中华◆年4中年中◆年年◆中4中华中年中中年中中中年中年年华年年中年中年年中单◆4年华◆中◆单◆华中年4年中华华年中◆◆年◆ 此定理的等价命题是： 设A是mxn矩阵， 则齐次线性方程组X=O只有零解的充要条件是 R(A)=n. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件 3 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 于是又从另一个角度得出下面的结论(即定理 3.1.2)： 定理3.6.1 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程 组 AX = O 有非零解的充分必要条件是 R(A) n . 此定理的等价命题是：设 A 是 mn 则齐次线性方程组 AX = O 只有零解的充要条件是 R(A) = n. 矩阵
水人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件4 尚本 推论36.1设A是m×n矩阵，则 中中中中中 1.当m<n时，齐次线性方程组AX=O必有 非零解； 2.当 m=n时，齐次线性方程组AX=O有 非零解（只有零解）的充要条件是 A=0(4≠0) 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司
以人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件 4 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 推论3.6.1 设 A 是 mn 矩阵，则 1.当 m n 时，齐次线性方程组 AX = O 非零解； 2.当 m = n 时，齐次线性方程组 AX = O 必有 非零解（只有零解）的充要条件是 A = 0 有 ( A 0)
水人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件5 本 例3.6.1 试判断当入为何值时，齐次线性 方程组 x1+2x2+x3=0, X1-X2+X3=0, 2x+x2+2x3=0 (1)有非零解；(2)只有零解 解（解一）将齐次线性方程组的系数矩阵 A进行初等行变换 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件 5 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 例3.6.1 试判断当 为何值时，齐次线性 方程组 + + = − + = + + = 2 0. 0, 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x （1）有非零解；（2）只有零解. 解 （解法一 ）将齐次线性方程组的系数矩阵 A 进行初等行变换
0人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件6 尚本 0元+1 0 +(=1)x A= r3+（-)× 01+12-入 1 -1 r<今12 0 λ+1 0 3+(-1)×2 002-九 当1=2或1=1时，R(A)=2<3; 当1≠2或2≠1时，R(4)=3 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快东学司
以人 新课 3.6.1齐次线性方程组有非零解的条件 6 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 = − 1 2 1 1 1 1 1 A 3 2 1 2 r r r r + − + − ( λ) ( 1) + − − + 0 1 2 1 1 1 0 1 0 3 2 1 2 r r r r + − ( 1) . 0 0 2 0 1 0 1 1 1 − + − 当 = 2或 = −1时，R(A) = 2 3 ; 当 2或 −1时，R(A) = 3