例求方程Ay=2y的所有解。 解原方程即 d d (y≠0)。 工程技术中 两边积分,得 解决某些问题时, √y=x+C, 需要用到方程的 故通解为 奇解。 y=(x+C)。 易验证y=0也是方程的解,但它不被包含在通解内。 此时称y=0为方程的奇解,几何上看,方程的奇解是积分 曲线族的包络
例 解 2 d d 求方程 y 的所有解 。 x y 原方程即 d ( 0)。 2 d x y y y 两边积分，得 y x C， 故通解为 ( ) y x C 2 。 易验证 y 0 也是方程的解，但它不 被包含在通解内。 此时称 y 0为方程的奇解，几何上 看，方程的奇解是积分 曲线族的包络。 工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解
二、齐次方程 d dx dy=xdutudx 齐次方程 代入原方程,得 变量代换y=x d u x,+u=f(u) ax d 变量分离方程
二、齐次方程 x y f x y d d 齐次方程 d ( ) d x x f u u u 变量分离方程 d y x d u u d x ( ) d d u f u x u x 代入原方程，得
例求方程4y=y +tan的通解。 dx x d du y=xdutudx 解令u=,则 u+x x d d u 于是,原方程化为 dx dx d dx tanu x 两边积分,得 d dx COS X cot x tan u tan x sIn x In sinu=In x +In C, sinu= Cx, 故原方程的通解为siny=Cx
例 解 tan d d 求方程 的通解。 x y x y x y d d d d 令 ，则 ， x u u x x y x y u 于是，原方程化为 d tan d ， x x u u 两边积分，得 d tan d ， x x u u ln |sin u | ln | x | ln |C |， 即 sin u Cx， 故原方程的通解为 sin Cx。 x y d y x d u u d x u x u x x y d d d d x x x x sin cos cot tan 1