复旦大学：《数学分析》教案讲稿_闭区间上Riemann积分的应用理论

教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 课程:《数学分析(I)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:闭区间上 Riemann积分的应用理论。主要内容分为:①数学实验可确认实验 结论为“真理”的事例及其理论依据。②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例,对 此类结论必须经实践鉴别或者检验。③相关分析中的共同“数学结构”,称为数学通识。 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素 ①数学实验可确认实验结论为“真理”的事例及其理论依据 研究事例1:平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 R() 6 面对平面曲边扇形的面积计算,我们开展数学实验,包括:数学建模→数学分析→指导 实践这三个基本过程 1.数学建模:按“分割→选取→求和→求极限”的过程,我们得到曲面扇形面积的一个计算 方案 S=∫,R2()d=加maR2(),P,|=加m∑,R2(),△ 此处,求极限过程已涉及 Rieman积分的最为初步的分析理论 2.数学分析:致力于基于数学逻辑,研究上述面积计算方案的合理性。考虑到:对应分割P, 每子块的真实面积Sa,具有如下估计 第1页共9页

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 1 页 共 9 页 教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：闭区间上 Riemann 积分的应用理论。主要内容分为：①数学实验可确认实验 结论为“真理”的事例及其理论依据。②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例，对 此类结论必须经实践鉴别或者检验。③相关分析中的共同“数学结构”，称为数学通识。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： ① 数学实验可确认实验结论为“真理”的事例及其理论依据 研究事例 1：平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 o  a  b x y o x y a b R   f x  面对平面曲边扇形的面积计算，我们开展数学实验，包括：数学建模→数学分析→指导 实践这三个基本过程。 1. 数学建模：按“分割→选取→求和→求极限”的过程，我们得到曲面扇形面积的一个计算 方案：       22 2 0 0 1 11 1 : lim , , lim 22 2 b a N i i P P i S Rd R P R                           此处，求极限过程已涉及 Riemann 积分的最为初步的分析理论 2. 数学分析：致力于基于数学逻辑，研究上述面积计算方案的合理性。考虑到：对应分割 P ， 每子块的真实面积 real i, S 具有如下估计：

教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 infR2(e)·△b Ip (0)·△O,v1≤i 则有:LR2(O),Ps∑Sm=SmsU1|R2(a),P 按 Riemann积分的相关理论,有:R(0)∈R[2,]→R(0)∈R[O2,】],由此 2(841=24(p)m(2e(-门(m 按夹逼性,则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论 当R()∈R2,4],则有:Sm-「2R2(O)db 同理,我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论 当f(x)∈R[a小,则有:Sm=∫f(x)dx 需指出,上述所谓的“确定性结论”的获得,实际基于共同的数学结构:真实值可由 Darboux 小和和 Darboux大和控制。当 Riemann可积时, Darboux小和和大和具有相同的极限值,即 为 Riemann积分值;故按夹逼性,真实值必为 Riemann积分值。 ②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例一一对此类结论必需经实践鉴别或者检验 研究事例1:R3中曲线弧长的计算 F()-产() )-x)+(0)yc)+(=-)y t) y lo 对此进行数学实验 1.数学建模 张筑生著《数学分析新讲》的第一册,对此有所叙述 第2页共9页

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 2 页 共 9 页         1 1 2 2 , , , 1 1 inf sup , 1 2 2 ii ii R S R iN i real i i                         则有：     2 2 , 1 1 1 , , 2 2 N real i real i LR P S S U R P               按 Riemann 积分的相关理论，有：         1 2 , , 2 RR R R        ab ab ，由此：           2 2 22 0 0 1 1 11 , lim , lim , : 2 2 22 b a a b P P R R LR P UR P R d                             按夹逼性，则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论： 当 R R    a b , ，则有：   1 2 2 b a real S Rd        。 同理，我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论： 当 f   x R ab   , ，则有：   b real a S f x dx   。 需指出，上述所谓的“确定性结论”的获得，实际基于共同的数学结构：真实值可由 Darboux 小和和 Darboux 大和控制。当 Riemann 可积时，Darboux 小和和大和具有相同的极限值，即 为 Riemann 积分值；故按夹逼性，真实值必为 Riemann 积分值* 。 ② 数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例——对此类结论必需经实践鉴别或者检验 研究事例 1： 3  中曲线弧长的计算   i 1 r t   x z   i 1 t  i t y o 0t Nt t  i r t                    1 3 1 2 2 22 1 11 i i ii ii ii rt rt xt xt yt yt zt zt                t  t   i 1 t t   i t t  对此进行数学实验： 1. 数学建模： * 张筑生著《数学分析新讲》的第一册，对此有所叙述

教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 考虑到R3中曲线的参数刻 F()[a,1bF(t)=y()∈R3 () 为此,我们在参数域[a,月上进行分割P:a=b0<…<1<1<…<Ix=B,由此获得在实 际曲线上的分割,如上图所示 对于分割点所截取的曲线弧长,我们仍无实际的计算方法,故考虑利用直线段进行“近 似:A=2F()=F()=(x()=x()2+(y()-y(2)2+()-=(-) 进一步,考虑部分和: ∑△L1=∑√(5)+y(m)+2()△ 上式获得,利用了 Lagrange中值定理,故需要引入条件: x()∈C[a,月],3()∈R,vt∈(a,B y()∈C[a,月],习(1)∈R,vt∈(,B),可记为F()∈C[a,月,产(t)∈R3,t∈(a,B (t)∈C[a,月,3()∈R,Mt∈(a,B) 以下考虑极限过程。按上述分析,在每一子区间上,5,1,5;∈(t1,1)取值各不相同, 这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限 m∑△L==1∑√()+y(n)+:()△,5,,5:eL14 可按 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理认识,因为原有的分析都适用现有情形 结合上述部分和的实际结构,我们要求存在极限 的()=子(+0)+:0)aeR 故需要进一步引入条件:F()∈C[a,],()∈R[a,月],亦即各分量在[,月]存在一阶导 函数且 Riemann可积。现我们猜测: Claim:下述极限存在 ∑())+(-100+0m 分析 第3页共9页

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 3 页 共 9 页 考虑到 3  中曲线的参数刻画             3 : , x t rt t rt yt z t                   为此，我们在参数域,  上进行分割 0 1 : P t tt t          ii N   ，由此获得在实 际曲线上的分割，如上图所示。 对于分割点所截取的曲线弧长，我们仍无实际的计算方法，故考虑利用直线段进行“近 似：    3                1 2 2 22 1 1 11 : L rt rt xt xt yt yt zt zt i ii ii i i ii                   。 进一步，考虑部分和：     222 1 1 N N i i i ii i i Lxyzt              ， 上式获得，利用了 Lagrange 中值定理，故需要引入条件：                       , , , , , , , , , , , , xt C xt t yt C yt t zt C zt t                                 ，可记为         3 rt C rt t     , , , ,       以下考虑极限过程。按上述分析，在每一子区间上， iii i i ,, ,  t t 1 取值各不相同， 这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限：     222 0 0 1 1 lim lim N N i i i ii P P i i L xyzt                      ，   1 ,, , iii i i  t t    可按 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理认识，因为原有的分析都适用现有情形。 结合上述部分和的实际结构，我们要求存在极限      3 2 22 r t dt x t y t z t dt                 故需要进一步引入条件：rt C rt R      , , ,         ，亦即各分量在,  存在一阶导 函数且 Riemann 可积。现我们猜测： Claim：下述极限存在        2 2 2 2 22 0 1 lim N i i ii P i x y z t x t y t z t dt                         分析：

教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 估计 E()(),:(M-,0,可 s√x()+y(n)+=()41-∑√()+p(r)+=(x)41 √2(r)+j2(x)+=()41-∫√x(o)+()+=()d 此处,∈[v1,1] 对于R的第2项,由于F0)+y()+=(0如∈R,则有信计 对VE>0,彐δ>0,成立 ∑√F(x)+y()+=()-(0+f(0)+=(0)d<P< 对于RHS的第1项的估计,考虑引入如下结构 NA+B+C -VE+F+G=14-E+(B-Fl+c-C 分析 /+B2+C2-√E2+F2+G2|= +B+C-(E2+F2+G √A+B2+c2+√E2+F /A2+B2 E+F2+g ≤A-E+ 故对于RHS的第1项的有估计 E()+(0)+#(M(-()+()=() N()+y(n)+()-V()+y(c)+()A s∑[x(,)-x(r)+|y(n)-y(x)+1()-=(x)△ =(4)-x()△+Sp(m)=y()△+()-:() ≤a(x(t),P)+a(y(),P)+a(=(t),P) 第4页共9页

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 4 页 共 9 页 估计                     2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 2 22 1 N i i ii i N N i i ii i i ii i i N i i ii i x y z t x t y t z t dt x yz txyzt x y z t x t y t z t dt                                                       此处   1 , i ii  t t    对于 RHS 的第 2 项，由于    2 22 x t y t z t dt           ，则有估计： 对   0 ， 0     ，成立       2 2 2 2 22 1 , N i i ii i x y z t x t y t z t dt P                         对于 RHS 的第 1 项的估计，考虑引入如下结构。 Lemma： 222 2 22 A  B C E F G AE BF CG      分析：   222 2 22 222 2 22 222 2 22 222 2 22 ABC EFG ABC EFG ABC EFG A E A E ABC EFG A E                 故对于 RHS 的第 1 项的有估计：                                     2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 2 22 1 1 11 1 , , N N i i ii i i ii i i N i i i i i ii i N i i i i i ii i NN N i ii i ii i ii ii i x yz txyzt xyz xyz t xx y y z z t x x ty y tz z t xt P yt P                                                                           zt P  

教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 上述o(x(),P)表示x()振幅和。按 Riemann积分有关分析理论, ()∈R[a,]s1mo(x(),P) 至此获证。 综上所述,我们数学实验的结论为 当有F()∈C[a,月],()∈R[a,],则有 3m∑√(5)+y(n)+()41=√2(0)+y(0)+=()eR 亦即通过“折线逼近”的方式给出曲线弧长的上述计算方案。需指出,由于没有真实弧长被 相关 Darboux小和和大和控制的估计,故上述数学实验的结论不能直接确定结论为“真理 对此结论必须经实践检验。然而,经实践,上述对曲线弧长的计算方案正确。 研究事例2:旋成体侧面积的计算 y V=y 如上图所示,将曲线绕x轴旋转一圈可形成旋成体,现需给出其侧面积计算方案。对此, 我们开展数学实验。针对旋成体局部侧面积的近似方法不同,我们可有如下两种方案 方案1:“旋成体局部侧面积用圆合侧面积进行近似” x-x)2+(y-y=) R1 2Ty-, or 2zy 第5页共9页

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 5 页 共 9 页 上述   x  t P, 表示 x  t 振幅和。按 Riemann 积分有关分析理论，         0 , lim , 0 P xt R xt P      至此获证。 综上所述，我们数学实验的结论为： 当有 rt C rt R      , , ,         ，则有：        2 2 2 2 22 0 1 lim N i i ii P i x y z t x t y t z t dt                            亦即通过“折线逼近”的方式给出曲线弧长的上述计算方案。需指出，由于没有真实弧长被 相关 Darboux 小和和大和控制的估计，故上述数学实验的结论不能直接确定结论为“真理”， 对此结论必须经实践检验。然而，经实践，上述对曲线弧长的计算方案正确。 研究事例 2：旋成体侧面积的计算 x   i 1 t  i t o 0t Nt t y i 1 t t   i t t    1 1 : i i y yt    :   i i y yt     2 2 ii ii 1 1 xx yy     如上图所示，将曲线绕 x 轴旋转一圈可形成旋成体，现需给出其侧面积计算方案。对此， 我们开展数学实验。针对旋成体局部侧面积的近似方法不同，我们可有如下两种方案。 方案 1：“旋成体局部侧面积用圆台侧面积进行近似” Ri    2 2 Rr xx y y ii i i i i       1 1 1 2 2 i i   y or y  1 2 2 i i   y or y  ir  i