复旦大学：《数学分析》讲稿_微分流形上微积分_微分流形上微分学-04-流形上的微分运算-02

微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 (+1a-()>-∑sn,(n).,a) f∈Pr+1 0(B)4054()deB d )(+1)an,(x)∑eB,1…,s1)()dAA…Ad 1 a(x° 1 (r!)2(r+1)!aa (E)dB∧d∧……∧d d(s (E)dB∧d de 5.计算 ∑m,rr…au)Fdp8 ∈P rIs F"(dr dro drs 1∑mh(F到8(F=(F)A(F rIs 12Lie导数 121Lie导数的定义 定义1.2(Lie导数).Lie导数定义为 (x)(g;⑧91)(x)-((1⑧91)(E,t) 更:j()(G1②G)(x,t)一:()(G③G)(E

微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ   ∑ γˆ∈Pr+1 sgnγˆ ( ∂xs ∂ξγˆ(B) ∂xσ(i1) ∂ξγˆ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξγˆ(Ar) ) (ξ)  dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ∂(x s , xσ(i1) , · · · , xσ(ir) ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgn2σ ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 5. 计算 F ∗ (Φ ∧ Ψ) = F ∗ ( (r + s)! r!s! A (Φ ⊗ Ψ) ) = F ∗ ( 1 r!s! ∑ σ∈Pr+s sgnσΦσ(i1)···σ(ir)Ψσ(j1)···σ(js)dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦσ(i1)···σ(ir)Ψσ(j1)···σ(js)F ∗ (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ⊗ F ∗ (dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) ] = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦi1···irΨj1···jsF ∗ (dx σ−1 (i1) ⊗ · · · ⊗ dx σ−1 (ir) ) ⊗ F ∗ (dx σ−1 (j1) ⊗ · · · ⊗ dx σ−1 (js) ) ] = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦi1···irΨj1···js Iσ ( F ∗ (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ⊗ F ∗ (dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) )] = 1 r!s! ∑ σ∈Pr+s sgnσIσ [(F ∗Φ) ⊗ (F ∗Ψ)] = (F ∗Φ) ∧ (F ∗Ψ). 1.2 Lie 导数 1.2.1 Lie 导数的定义 定义 1.2 (Lie 导数). Lie 导数定义为 LV Φ ,    lim t→0 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(ξ, t) t , lim t→0 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) t . 6

微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 此处x=+Vt+o(t)∈Rm,亦即x2=+Vt+o(t)∈R,而且 axk 01):=m(,1)=(61)(x)=B(∈,9()∈TE g(,1=ak(,g(a)∈T azd(a, t)sock 0∑ Gi(a,t) axk (a, t)ack(S) (c,t)Gk()∈Tx∑, G(,t) (E,t)G(x)∈T∑ F-ly=vii()2(&&1,TEM F中=的Bm()(x)918g∈81TM 更=重GA8GB∈1TM 业=vjg1g∈81TM G=ds∈T*M G1=Gk∈T dr∈TM 6=c+∈r2, 0 ∈TM 微分流形 =(x)g∈T;M 9=m()gk∈TM 图2:Lie导数示意 Lie导数可理解为:流形上某一点的张量(整体形式)通过同态扩张至另一点,以此实现流形 上不同点处张量的变化率,且现同态扩张由流形上的流动确定,如图2所示.值得指出,一些重要 的著作将Le导数认识为物质导数.按力学观点,张量物质导数为介质质点所携带的张量(整体 形式)随时间的变化率,而Lie导数按其数学定义并不等同于物质导数的定义 性质1.2.对于定常场,有 IV更=Lv(的G1⑧C)(E) avl ()2(G8C)(E 此处,x(E,t) a(,)=V(x,t) O Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1985. Dubrovin B A, Fomenko A T, Novikov S P. Modern Geometry-Methods and Applications Vol 1, 2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999

微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 此处 x = ξ + V t + o(t) ∈ R m, 亦即 x i = ξ i + V i t + o i (t) ∈ R, 而且    > gi (ξ, t) := ∂Σ ∂ξi (ξ, t) = ∂xk ∂ξi (ξ, t) ∂Σ ∂xk (x) = ∂xk ∂ξi (ξ, t)gk (x) ∈ TxΣ, > g j (ξ, t) := ∂ξj ∂xk (ξ, t)g k (x) ∈ TxΣ;    < Gi(x, t) := ∂ 0 Σ ∂xi (x, t) = ∂ξk ∂xi (x, t) ∂ 0 Σ ∂ξk (ξ) = ∂ξk ∂xi (x, t)Gk(ξ) ∈ TxΣ, < Gj (x, t) := ∂xj ∂ξk (ξ, t)Gk (x) ∈ TxΣ. 微分流形 V0 GA = ∂ ∂ξA ∈ TξM GA = dξA ∈ T ∗ ξ M ◦ Φ = Φ A · BGA ⊗ GB ∈ ⊗1,1TξM F −1 ∗ Ψ = Ψ i · j ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ)GA ⊗ GB ∈ ⊗1,1TξM < Gi = ∂ξk ∂xi Gk ∈ TξM < Gj = ∂xj ∂ξk Gk ∈ T ∗ ξ M Vt gj = ∂ ∂xj ∈ TxM g j = dx j ∈ T ∗ xM > gi = ∂xk ∂ξi (ξ)gk ∈ TxM > g j = ∂ξj ∂xk (x)g k ∈ T ∗ xM F∗ ◦ Φ = Φ A · B ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x)gi ⊗ g j ∈ ⊗1,1TxM Ψ = Ψ i · jgi ⊗ g j ∈ ⊗1,1TxM O ξ 1 ξm ξ O x 1 xm x 图 2: Lie 导数示意 Lie 导数可理解为: 流形上某一点的张量 (整体形式) 通过同态扩张至另一点, 以此实现流形 上不同点处张量的变化率, 且现同态扩张由流形上的流动确定, 如图2所示. 值得指出, 一些重要 的著作将 Lie 导数认识为物质导数➀. 按力学观点, 张量物质导数为介质质点所携带的张量 (整体 形式) 随时间的变化率, 而 Lie 导数按其数学定义并不等同于物质导数的定义. 性质 1.2. 对于定常场, 有 LV Φ = LV (Φ i ·jGi ⊗ Gj )(ξ) = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj (ξ)Φ i ·l ] (Gi ⊗ Gj )(ξ), 此处, x˙ i (ξ, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) = V i (x, t). ➀ Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1985. Dubrovin B A, Fomenko A T, Novikov S P. Modern Geometry-Methods and Applications Vol.1,2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 7

微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 证明首先考虑到 0x2 x(,1)=t(,1)=(x,), 有 4=()0 (E,t) 故有 s,0)≈o 0/ar2 (0)=6 9() 按无限小增量公式,有 0/a (E,t) o0)+a(a)(0)+0( 0+ax(∈)t+( 另一方面,可有 axi dfi(5)t +o(t), 此处利用了关系式 (I+U)-=I-U+O(U\9(m)), UE9(Rm), 另有 (x)=E+vt+o(1)=()+2(vt+o3 现考虑 小(m)(g18g3)(x)-型(E)(18g)(x) 分析 )-()m1e0 ()+c2(6)y4+2( ()+(+一(+叫 =()+(E)vt+o(t ()+()-()-() avp av3 ( (E)p: c q o(t)

微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 证明 首先考虑到 x˙ i (ξ, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) = V i (x, t), 有 ∂x˙ i ∂ξj (ξ, t) = ∂ ∂t ( ∂xi ∂ξj ) (ξ, t) = ∂V i ∂xs (x, t) ∂xs ∂ξj (ξ, t), 故有 ∂ ∂t ( ∂xi ∂ξj ) (ξ, 0) = ∂V i ∂xs (x, 0)∂xs ∂ξj (ξ, 0) = δ s j ∂V i ∂ξs (ξ) = ∂V i ∂ξj (ξ). 按无限小增量公式, 有 ∂xi ∂ξj (ξ, t) = ∂xi ∂ξj (ξ, 0) + ∂ ∂t ( ∂xi ∂ξj ) (ξ, 0)t + o(t) = δ i j + ∂V i ∂ξj (ξ)t + o i j (t). 另一方面, 可有 ∂ξk ∂xi (x, t) = δ k i − ∂V k ∂ξi (ξ)t + o k i (t), 此处利用了关系式 (I + U) −1 = I − U + o(|U|T r(Rm) ), ∀ U ∈ T r (R m), 另有 Φ i ·j (x) = Φ i ·j (ξ + V t + o(t)) = Φ i ·j (ξ) + ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l t + o i ·j (t). 现考虑 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(x) = [ Φ p · q(x) − Φ i ·j (ξ) ∂xp ∂ξi (ξ, t) ∂ξj ∂xq (x, t) ] (gp ⊗ g q )(x), 分析 Φ p · q(x) − Φ i ·j (ξ) ∂xp ∂ξi (ξ, t) ∂ξj ∂xq (x, t) = [ Φ p · q(ξ) + ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l t + o p · q(t) ] − Φ i ·j (ξ) [ δ p i + ∂V p ∂ξi (ξ)t + o p i (t) ] [δ j q − ∂V j ∂ξq (ξ)t + o(t) j q ] = [ Φ p · q(ξ) + ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l t + o(t) p · q ] − [ Φ i ·j (ξ)δ p i δ j q + Φ i ·j (ξ) ∂V p ∂ξi (ξ)δ j q t − Φ i ·j (ξ)δ p i ∂V j ∂ξq (ξ)t + o p · q(t) ] = [ ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l − ∂V p ∂ξi (ξ)Φ i ·q + ∂V j ∂ξq Φ p · j ] t + o(t), 8