赋范线性空间上微分学——映照可微性与高阶导数 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 11映照可微性 定义11(映照可微性).x0为D2CX的内点,如果彐Df(xo)∈(X;Y),满足 f(ao + h)-f(ro)= Df(ro)(h)+o(hIxEy 亦即,自变量的变化而引起的因变量的变化,可由自变量空间至因变量空间的线性变换近似,且 差为一阶无穷小量,一般称Df(x0)(h)为微分,Df(xo)的具体形式可称为导数,可以记作 Df(x0)=:(xo)∈x(x 性质11(导数存在的唯一性).如有a,∈2(X;Y),满足 f(ro +h-f(ro)=d(h)+o(heY f(ao+h)-f(ro)= 8()+O(heY, 则有m=团=(x;Y) 证明由 (h)-(h)=(a-涕)(h)=0(hx)∈Y, 可取h=λe,V|e|x=1,按a和团的线性性,有 ∈Y, 即有(e)=(e),Vlx=1,亦即有a(x)=(x),x∈X.因此有a=∈(X;Y).口 定义12(方向导数).Vh∈X,|H|x≠0,可定义 4(+M=1=D∈y 为X∈Dx点f(x)∈Y关于h∈X的方向导数 性质1.2.如果f(x)在x点可微,则 3Df(x)=()(h)∈Y,Vh∈x,x≠0
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——映照可微性与高阶导数 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 映照可微性 定义 1.1 (映照可微性). x0 为 Dx ⊂ X 的内点, 如果 ∃ Df(x0) ∈ L (X; Y ), 满足 f(x0 + h) − f(x0) = Df(x0)(h) + o(|h|X) ∈ Y, 亦即, 自变量的变化而引起的因变量的变化, 可由自变量空间至因变量空间的线性变换近似, 且 误差为一阶无穷小量, 一般称 Df(x0)(h) 为微分, Df(x0) 的具体形式可称为导数 , 可以记作 Df(x0) =: df dx (x0) ∈ L (X; Y ). 性质 1.1 (导数存在的唯一性). 如有 A , B ∈ L (X; Y ), 满足 f(x0 + h) − f(x0) = A (h) + o(|h|X) ∈ Y, f(x0 + h) − f(x0) = B(h) + o(|h|X) ∈ Y, 则有 A = B = L (X; Y ). 证明 由 A (h) − B(h) = (A − B)(h) = o(|h|X) ∈ Y, 可取 h = λe, ∀ |e|X = 1, 按 A 和 B 的线性性, 有 (A − B)(e) = o(λ) λ ∈ Y, 即有 A (e) = B(e), ∀ |e|X = 1, 亦即有 A (x) = B(x), ∀ x ∈ X. 因此有 A = B ∈ L (X; Y ). 定义 1.2 (方向导数). ∀ h ∈ X, |h|X ̸= 0, 可定义 lim λ→0∈R f(x + λh) − f(x) λ =: Dhf(x) ∈ Y 为 X ∈ Dx 点 f(x) ∈ Y 关于 h ∈ X 的方向导数. 性质 1.2. 如果 f(x) 在 x 点可微, 则 ∃ Dhf(x) = df dx (x)(h) ∈ Y, ∀ h ∈ X, |h|X ̸= 0. 1
赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 证明由可微性,有估计 (x+Mb)-f(x)=x(x)(Mh)+o(Mhlx)=Ax(x)(h)+o(刘)∈Y, 即有 a lim f(az+ Ah)-f()=df (x)(h)∈Y 入→0∈R 性质13.对v{n}∈NCx(X;Y),mn→∈x(X;Y),则有 an(x)→∞0(x)∈Y,Vx∈X 证明有估计 an(a)-do(a)ly=l(dn-d)(a)lr <Ian -dole(x: r)lazlx 定理1.4(复合映照可微性定理).设有映照 e(a): XD Dx (x)∈ e(y):YDy3y+(y)∈Z, 如有 B(ro+h)=0(o)+(co(h)+o(hxEY e(90+b)=6(90)+x(9)(b)+o(by)∈Z,9o=(mo)∈Y 亦即(x)∈Y在点x0∈X可微,O(y)∈Z在点v∈Y可微,则有 e。6(xo+h)=6(mo)+x(6o6(mo)(h)+o(hx)∈z d()(a)=a(o)°a(20)∈x(x; 证明由e(y)∈Z在点犰∈Y的可微性,扩充可微性的关系式为 (30+k)=6(9)+x(0)(k)+v(k)ky∈Z, 此处 ∈Z,|y≠0, 0∈Z,|ky=0∈Y, 显见有,lim,v(k)=0=v(0)∈Z.扩充后的关系式同样适用于k=0∈Y的情形
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 证明 由可微性, 有估计 f(x + λh) − f(x) = df dx (x)(λh) + o(|λh|X) = λ df dx (x)(h) + o(λ) ∈ Y, 即有 ∃ lim λ→0∈R f(x + λh) − f(x) λ = df dx (x)(h) ∈ Y. 性质 1.3. 对 ∀ {An}n∈N ⊂ L (X; Y ), An → A0 ∈ L (X; Y ), 则有 An(x) → A0(x) ∈ Y, ∀ x ∈ X. 证明 有估计 |An(x) − A0(x)|Y = |(An − A0)(x)|Y 6 |An − A0|L (X;Y ) |x|X. 定理 1.4 (复合映照可微性定理). 设有映照 θ(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ θ(x) ∈ Y, Θ(y) : Y ⊃ Dy ∋ y 7→ Θ(y) ∈ Z, 如有 θ(x0 + h) = θ(x0) + dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ∈ Y, Θ(y0 + b) = Θ(y0) + dΘ dy (y0)(b) + o(|b|Y ) ∈ Z, y0 = θ(x0) ∈ Y, 亦即 θ(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ X 可微, Θ(y) ∈ Z 在点 y0 ∈ Y 可微, 则有 Θ ◦ θ(x0 + h) = Θ ◦ θ(x0) + d dx (Θ ◦ θ)(x0)(h) + o(|h|X) ∈ Z, 且 d dx (Θ ◦ θ)(x0) = dΘ dy (θ(x0)) ◦ dθ dx (x0) ∈ L (X;Z). 证明 由 Θ(y) ∈ Z 在点 y0 ∈ Y 的可微性, 扩充可微性的关系式为 Θ(y0 + k) = Θ(y0) + dΘ dy (y0)(k) + ψ(k)|k|Y ∈ Z, 此处 ψ(k) = o(|k|Y ) |k|Y ∈ Z, |k|Y ̸= 0, 0 ∈ Z, |k|Y = 0 ∈ Y, 显见有 lim k→0∈Y ψ(k) = 0 = ψ(0) ∈ Z. 扩充后的关系式同样适用于 k = 0 ∈ Y 的情形. 2
赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 可取k=(x0+h)-(xo)=x(xo)(h)+o(hlx)∈Y,则有 (30+6(x0+h)-6(x0))=日。(x0+h) =600(x0)+(0)(xo()+o(hkx) +v(x(x0)()+o(hx) o)(h)+o(hIx de =o(x0)+x(9)ox(xo)(h)+x(o)(o(hlx) +(d(0)()+(lx)a(x0(b)+a(lx 估计 (30)(o(hx) (o(laxly d 2(Y;z ThIx hx →0(h→0∈X), 则有 d (30)(o(hx))=o(h|x)∈Z. 估计 dr(to)(h)+o(hlx (ro)(h)+o(hIx hlx 16 (o(h)+o(h o(hx)lr 0(h→0∈X) 此处考虑到 hex dz(colh)+o(x=0EY (k)=0∈Z, 按复合映照可微性定理,有 de 彐,im(x(xo)(h)+o(hx)=0∈Z 综上有 e。6(mo+h)=6。6(xo)+x(6(xo)ox(xo)(h)+o(hlx)∈ 1.2有限增量估计 定理15(有限增量估计).设有函数f(x):XD3x+f(x)∈Y及闭线段[a,全 {a+t(b-a)∈Xt∈0,1}cDx,满足: 1.f(x)∈Ca,b,亦即∫(x)在闭线段[a,b上连续
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 可取 k = θ(x0 + h) − θ(x0) = dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ∈ Y , 则有 Θ (y0 + θ(x0 + h) − θ(x0)) = Θ ◦ θ(x0 + h) = Θ ◦ θ(x0) + dΘ dy (y0) [ dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ] + ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ) dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) Y = Θ ◦ θ(x0) + dΘ dy (y0) ◦ dθ dx (x0)(h) + dΘ dy (y0) (o(|h|X)) + ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ) dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) Y . 估计 dΘ dy (y0) (o(|h|X)) Z |h|X 6 dΘ dy (y0) L (Y ;Z) |(o(|h|X))|Y |h|X → 0 (h → 0 ∈ X), 则有 dΘ dy (y0) (o(|h|X)) = o(|h|X) ∈ Z. 估计 ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ) Z dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) Y |h|X 6 ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ) Z [ dθ dx (x0) L (X;Y ) + |o(|h|X)|Y |h|X ] → 0 (h → 0 ∈ X), 此处考虑到 lim h→0∈X [ dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ] = 0 ∈ Y, lim k→0∈Y ψ(k) = 0 ∈ Z, 按复合映照可微性定理, 有 ∃ lim h→0∈X ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ) = 0 ∈ Z. 综上有 Θ ◦ θ(x0 + h) = Θ ◦ θ(x0) + dΘ dy (θ(x0)) ◦ dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ∈ Z. 1.2 有限增量估计 定理 1.5 (有限增量估计). 设有函数 f(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ Y 及闭线段 [a, b] , {a + t(b − a) ∈ X|t ∈ [0, 1]} ⊂ Dx , 满足: 1. f(x) ∈ C[a, b], 亦即 f(x) 在闭线段 [a, b] 上连续; 3
赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 2.3(x)∈(X;Y),x∈(a,b),亦即f(x)在开线段(a,b)上可微, 则有估计 Jf(b)-f(a)y≤sup|(x) b-alx 证明先证明结论:V叵,c(a,b),Ve>0,成立 Jf(b)-f()≤|supl(x 2(X;Y 采用反证法.如果彐a*,b-]c(a,b),对>0,成立 1(6) -f(alr>sup(r) +E (a,b) 则任取∈(a…,b),成立估计式 If(e)-f(a)lr>sup(a) 或 (b)-f(a)lr>sup (a, b/dr (z) 因为如果同时成立 If(@)-f(a)ly< sup dr ltb +ela-aIx f(b,)-f(l)ly≤sup(x) 则有 f(i)-f(a)ly≤sap( tel dC-a x+1=4x) 2(X;Y) df (a, b)/ dx 故产生矛盾 按上述分析,取E为,b,]的中点,并记[a1,b1]为其中某一子区间,其上有估计 df If(1)-f(a1)r>supa() 2(X;Y) 再对分区间园a1,b],并记[a2,b2]为其中某一子区间,其上有估计 ∫(b2)-f(a2) a2
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 2. ∃ df dx (x) ∈ L (X; Y ), ∀ x ∈ (a, b), 亦即 f(x) 在开线段 (a, b) 上可微, 则有估计 |f(b) − f(a)|Y 6 sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) |b − a|X . 证明 先证明结论: ∀ [˜a, ˜b] ⊂ (a, b), ∀ ε > 0, 成立 |f( ˜b) − f(˜a)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b − a˜ X . 采用反证法. 如果 ∃ [˜a∗, ˜b∗] ⊂ (a, b), 对 ∀ ε > 0, 成立 |f( ˜b∗) − f(˜a∗)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b∗ − a˜∗ X , 则任取 c˜ ∈ (˜a∗, ˜b∗), 成立估计式 |f(˜c) − f(˜a∗)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] |c˜− a˜∗|X , 或 |f( ˜b∗) − f(˜c)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b∗ − c˜ X . 因为如果同时成立 |f(˜c) − f(˜a∗)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] |c˜− a˜∗|X , |f( ˜b∗) − f(˜c)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b∗ − c˜ X , 则有 |f( ˜b∗) − f(˜a∗)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ( |c˜− a˜∗|X + ˜b∗ − c˜ X ) = [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b∗ − a˜∗ X . 故产生矛盾. 按上述分析, 取 c˜ 为 [˜a∗, ˜b∗] 的中点, 并记 [˜a1, ˜b1] 为其中某一子区间, 其上有估计 |f( ˜b1) − f(˜a1)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b1 − a˜1 X . 再对分区间 [˜a1, ˜b1], 并记 [˜a2, ˜b2] 为其中某一子区间, 其上有估计 |f( ˜b2) − f(˜a2)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜b2 − a˜2 X . 4
赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 此过程可一直进行,故有 b]1,b2]2……→[an,bn]3…,且lim|bn-anly=0, f(bn)-f(an)>sup ar\uih + e 按闭区间套定理,三!∈叵n,bn],vn∈N,且有彐Iman= lim bn=∈X,另有成立 If(an)-f(E)lr>sup(a) (X;Y) f()-f()lr> sup dz (z) +E 考虑到∫(x)∈Y在∈X点上的可微性,即有 f(S+h)-f(s)s df ()(h)+o(h|x)∈Y, 可有 +b)-f()y≤/y hlx+Ehx, v0<hx< se (X;Y) sup dr lz(x ye hx 考虑到彐 lim an= lim bn=∈X,故彐N∈N,有|an-x,|bn-x<5,Vn>N故对 n>M,同时成女+0 df If(bn)-f(S)lr <sup dr larb +el lin-ilx 故得矛盾 考虑{an,bn]c(a,b),Vn∈N,且彐 lim an=a∈X,彐 lim bn=b∈X,则有 If(bn)-f(an)y≤/ 取n→∞,考虑到f(x)在a,b点的连续性,有 f(b)-fa)y≤|supa(x P(x:Y 故有 1f(b)-f(a)lr <sup(a) (b-alx 2(xr
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 此过程可一直进行, 故有 [˜a∗, ˜b∗] ⊃ [˜a1, ˜b2] ⊃ · · · ⊃ [˜an, ˜bn] ⊃ · · · , 且 limn→∞ | ˜bn − a˜n|Y = 0, f( ˜bn) − f(˜an) Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜bn − a˜n X . 按闭区间套定理, ∃ ! ˜ξ ∈ [˜an, ˜bn], ∀ n ∈ N, 且有 ∃ limn→∞ a˜n = limn→∞ ˜bn = ˜ξ ∈ X, 另有成立 |f(˜an) − f( ˜ξ)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] a˜n − ˜ξ X , 或 |f( ˜bn) − f( ˜ξ)|Y > [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] ˜bn − ˜ξ X . 考虑到 f(x) ∈ Y 在 ˜ξ ∈ X 点上的可微性, 即有 f( ˜ξ + h) − f( ˜ξ) = df dx ( ˜ξ)(h) + o(|h|X) ∈ Y, 可有 |f( ˜ξ + h) − f( ˜ξ)|Y 6 sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) |h|X + ε|h|X, ∀ 0 < |h|X < δε 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] |h|X . 考虑到 ∃ limn→∞ a˜n = limn→∞ ˜bn = ˜ξ ∈ X, 故 ∃ Nδε ∈ N, 有 |a˜n − ˜ξ|X, | ˜bn − ˜ξ|X < δε, ∀ n > Nε. 故对 ∀ n > Nδε , 同时成立 |f(˜an) − f( ˜ξ)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] |a˜n − ˜ξ|X, |f( ˜bn) − f( ˜ξ)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] | ˜bn − ˜ξ|X. 故得矛盾. 考虑 [an, bn] ⊂ (a, b), ∀ n ∈ N, 且 ∃ limn→∞ an = a ∈ X, ∃ limn→∞ bn = b ∈ X, 则有 |f(bn) − f(an)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] |bn − an|X. 取 n → ∞, 考虑到 f(x) 在 a, b 点的连续性, 有 |f(b) − f(a)|Y 6 [ sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) + ε ] |b − a|X, ∀ ε > 0, 故有 |f(b) − f(a)|Y 6 sup (a,b) df dx (x) L (X;Y ) |b − a|X. 5