赋范线性空间上微分学——变分计算 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 2一般理论 自变量为函数或向量值映照,因变量为实数的映照也称为泛函;计算泛函的微分即为计算变 分.本部分基于方向导数来计算泛函的变分 2.1一阶变分 2.1.1多元函数 设有(x)∈6(2;R)为多元连续函数,其中!2cRm,研究泛函 a():1(3;R)3d→(d)全 f(a, o(a), Vo(a))da 计算 dd(o(0)=Ded(o\. wa (q+A6)-x() 引入映照 B():R3入→B()全(+A0)=/f(x,0(x)+(x),Vo(am)+vbx)da, 则有 d(9)(0)=,imB()-B(0)_dB 入→0∈R (x,(x),Vo(x)(x)+ avis(z, p(a),Vp(c)A(a))da 进一步,考虑 (, o(), Vo())o(a)da Alo( af\(a)axi\ avio/()0(a)da avio 0/f novi(,p(),V(ae)0()do Oc (ovis)(z)e(az)dz (a)e()da
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——变分计算 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 2 一般理论 自变量为函数或向量值映照, 因变量为实数的映照也称为泛函; 计算泛函的微分即为计算变 分. 本部分基于方向导数来计算泛函的变分. 2.1 一阶变分 2.1.1 多元函数 设有 ϕ(x) ∈ C 1 (Ω; R) 为多元连续函数, 其中 Ω ⊂ R m, 研究泛函: A (ϕ) : C 1 (Ω; R) ∋ ϕ 7→ A (ϕ) , ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))dx. 计算 dA dϕ (ϕ)(θ) = DθA (ϕ) , lim λ→0∈R A (ϕ + λθ) − A (ϕ) λ . 引入映照 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) , A (ϕ + λθ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x) + λθ(x), ∇ϕ(x) + λ∇θ(x))dx, 则有 dA dϕ (ϕ)(θ) = lim λ→0∈R B(λ) − B(0) λ = dB dλ (0) = ∫ Ω ( ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))θ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂θ ∂xi (x) ) dx. 进一步, 考虑 ∫ Ω ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂θ ∂xi (x)dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ θ ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x) ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x))θ(x)dσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x)dx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x)dx, 1
赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 此处利用了6(x)a=0.综上,有 dor (@)(6) af (a, o (a), vo(a)) azi avio (a)e(a)daz 设∈61(2;R)为a()的临界点,由0的任意性,可得 Euler- Lagrange方程 0f(x,(m)Vo(x)-mr(ovo(a)=0 0(0f 或记为 (c)=0. 212多元向量值函数 设d(a)∈62(3;R)为向量值映照,其中ΩcRm,研究泛函 ():62(R)3中口()=/f(x,(x),Vp(m),v(m)d, 计算 lim (φ+A6)-s() do (中)(0)=Da(φ)= A→0∈R 引入 B():R9AB()全(d+A0) f(a, (a)+ A0(a), v(a)+Ave(a),v-o(a)+Ave(a))da, 则有 )(6)=x(0) os6°+afae avio axi aViVi a ar'axi/da f ve+ ⅴ2eda 计算 af_ aeedz=lala ar l av do (a2)eo dz 0/a fo n'avon do-l o2(av, o (x)°dx 0 af vo)(a)°d af (ar) eda, 此处利用了e(a)a=0.计算 1(m)a de a.;oa/ af an aViV; a axj ar'aViVioa/ax3 l ar (av v oo )ago
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 此处利用了 θ(x) ∂Ω = 0. 综上, 有 dA dϕ (ϕ)(θ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x) ] θ(x)dx. 设 ϕ ∈ C 1 (Ω; R) 为 A (ϕ) 的临界点, 由 θ 的任意性, 可得 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x) = 0, 或记为 ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) − ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) = 0. 2.1.2 多元向量值函数 设 ϕ(x) ∈ C 2 (Ω; R n ) 为向量值映照, 其中 Ω ⊂ R m, 研究泛函 A (ϕ) : C 2 (Ω; R n ) ∋ ϕ 7→ A (ϕ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x), ∇2ϕ(x))dx, 计算 dA dϕ (ϕ)(θ) = DθA (ϕ) = lim λ→0∈R A (ϕ + λθ) − A (ϕ) λ , 引入 B(λ) : R ∋ λ 7→B(λ) , A (ϕ + λθ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x) + λθ(x), ∇ϕ(x) + λ∇θ(x), ∇2ϕ(x) + λ∇2θ(x))dx, 则有 dA dϕ (ϕ)(θ) = dB dλ (0) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕα θ α + ∂f ∂∇iϕα ∂θα ∂xi + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 θ α ∂xi∂xj ] dx = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ · θ + ∂f ∂∇ϕ · ∇θ + ∂f ∂∇2ϕ · ∇2θ ] dx. 计算 ∫ Ω ∂f ∂∇iϕα ∂θα ∂xi dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα θ α ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x)θ α ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇iϕα θ αdσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x)θ αdx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x)θ αdx = − ∫ Ω [ ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) ] · θdx, 此处利用了 θ(x) ∂Ω = 0. 计算 ∫ Ω ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 θ α ∂xi∂xj dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ∂θα ∂xj ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x) ∂θα ∂xj (x) ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇i∇jϕα ∂θα ∂xj dσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj dx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj dx, 2
赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 此处利用了va=0.进一步,可有 af O.:vioo aa(a)da (x)e°(x)(x)da axjar'laViVioa 0 2 axjax'laviVioa )(az)e()da an ax'(av v,oa) (ac)e(z)do axjaxioViV;oa /(a)0(a)dx J2 azjar\av v;oa/(a)0(a)da v2φ )(a)(x)n 此处利用了(x)=0.当φ∈2(R)为s()临界点时,由(x)的任意性,可得 Euler-Lagrange方程 o/(2)+ a af azjazi(aV v/)(a)=0,1≤a≤n 也可记为 af v/(a)+ (x)=0∈Rn. 22二阶变分 22.1多元函数 基于泛函的一阶微分 a(o)()=D() 「of (x,以(x),Vm)(x)+、0f av d(z, o(ez), vo(e2)azi(z) daz, 可计算其二阶微分: ()(,m)=Dn。Dsa(q) DEd(o+An)-De 入→0∈R B(入):R3A+B(A=Dc(+A) 0(2,.(2)+Am2),yo()+m(m)() +a,0()+M(,)+Ama))小d
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 此处利用了 ∇θ ∂Ω = 0. 进一步, 可有 − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj (x)dx = − ∫ Ω ∂ ∂xj [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x) ] (x)dx + ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx = − I ∂Ω n j ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dσ + ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx = ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx =: ∫ Ω [ ∇2 ( ∂f ∂∇2ϕ ) (x) ] · θ(x)dx, 此处利用了 θ(x) ∂Ω = 0. 当 ϕ ∈ C 2 (Ω; R n ) 为 A (ϕ) 临界点时, 由 θ(x) 的任意性, 可得 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂ϕα − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x) + ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x) = 0, 1 6 α 6 n, 也可记为 ∂f ∂ϕ − ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) + ∇2 ( ∂f ∂∇2ϕ ) (x) = 0 ∈ R n . 2.2 二阶变分 2.2.1 多元函数 基于泛函的一阶微分 dA dϕ (ϕ)(ξ) = DξA (ϕ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))ξ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂ξ ∂xi (x) ] dx, 可计算其二阶微分: d 2A dϕ2 (ϕ)(ξ, η) = Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R DξA (ϕ + λη) − DξA (ϕ) λ , 作 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) = DξA (ϕ + λη) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x) + λη(x), ∇ϕ(x) + λ∇η(x))ξ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x) + λη(x), ∇ϕ(x) + λ∇η(x)) ∂ξ ∂xi (x) ] dx, 3
赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 则有 DnO DE d(o)= lim B()-B(0)dB d Q ado a2f anas 02 (a)(vn T(a) 00b0v/5(x) v() aOao aVoaVo 式中 R", apavo'davio/(ap8v1g 02f ∈R amoah 02f 02f aV1oaV1% ∈R Ovoavo avian;o 02f 即有 do2(,)= (aa)c|() aoao aVivO 222多元向量值函数 基于泛函的一阶微分 (中)(4)=Da(φ af s(x)+ la aViga ar'aViVi oa ax'ac3 计算其二阶微分 d 2of d(0)m)=Dn0D∈()=A1mR Dsa(φ+n)-Da(φ) 引入 B(入):R3A→B(从)=Da(中+An) af aviga art dViJa axa.c3
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 则有 Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R B(λ) − B(0) λ = dB dλ (0) = ∫ Ω [( ∂ 2f ∂ϕ∂ϕη(x) + ∂ 2f ∂∇iϕ∂ϕ ∂η ∂xi ) ξ(x) + ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇iϕ η(x) + ∂ 2f ∂∇jϕ∂∇iϕ ∂η ∂xj ) ∂ξ ∂xi ] dx = ∫ Ω ( η(x) (∇η) T(x) ) ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ( ξ(x) ∇ξ(x) ) dx, 式中 ∇ξ(x) := ( ∂ξ ∂xi (x) ) ∈ R m, ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇iϕ ) = ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂ϕ∂∇mϕ ) ∈ R 1×m, ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂ϕ) = ∂ 2f ∂∇1ϕ∂ϕ . . . ∂ 2f ∂∇mϕ∂ϕ ∈ R m×1 , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂∇jϕ ) = ∂ 2f ∂∇1ϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂∇1ϕ∂∇mϕ . . . . . . ∂ 2f ∂∇mϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂∇mϕ∂∇mϕ ∈ R m×m, 即有 d 2A dϕ2 (ξ, ξ) = ∫ Ω ( ξ(x) (∇ξ) T(x) ) ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ( ξ(x) ∇ξ(x) ) dx. 2.2.2 多元向量值函数 基于泛函的一阶微分 dA dϕ (ϕ)(ξ) = DξA (ϕ) = ∫ Ω ( ∂f ∂ϕα ξ α (x) + ∂f ∂∇iϕα ∂ξα ∂xi + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj ) dx, 计算其二阶微分 d 2A dϕ 2 (ϕ)(ξ, η) = Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R DξA (ϕ + λη) − DξA (ϕ) λ . 引入 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) = DξA (ϕ + λη) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕα ξ α (x) + ∂f ∂∇iϕα ∂ξα ∂xi (x) + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj (x) ] dx, 4
赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 有 dB dφ a2f an apsara aoa az2 aVi Vioaga ajai 02f 02n3 +(ab°8 av;oavioa art avk;savio d.rkarj)ari aoav. V;oa aviVi oa arq avpvgo, oa axparg 825a 02 aoao a 8- v2g ,(Vn,(2n)2) av0 p aAvφ aViv2φ vE da, v2φaav2oovφav2oov2g 此处 ov ao lov goy e Roby s )e Rod 0x2 vdovφ( avigaavio3 )∈R(m)x(m =(下)∈mm av20av20avVoo0v vB ∈R(nm)×(nm2) 3应用事例 3.1一般事例 事例1(平面上连接两点之间的最短曲线).考虑泛函 e(2:r=2=(m0)→()=/√到+m y(t) 的最小值 计算一阶变分,有 dr ()E 故有 Euler- Lagrange方程 (t)=0∈
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 有 d 2A dϕ 2 (ϕ)(ξ, η) = dB dλ (0) = ∫ Ω [( ∂ 2f ∂ϕβ∂ϕα η β + ∂ 2f ∂∇iϕβ∂ϕα ∂ηβ ∂xi + ∂ 2f ∂∇j∇iϕβ∂ϕα ∂ 2η β ∂xj∂xi ) ξ α + ( ∂ 2f ∂ϕβ∂∇iϕα η β + ∂ 2f ∂∇jϕβ∂∇iϕα ∂ηβ ∂xi + ∂ 2f ∂∇k∇jϕβ∂∇iϕα ∂ 2η β ∂xk∂xj ) ∂ξα ∂xi + ( ∂ 2f ∂ϕβ∂∇i∇jϕα η β + ∂ 2f ∂∇qϕβ∂∇i∇jϕα ∂ηβ ∂xq + ∂ 2f ∂∇p∇qϕβ∂∇i∇jϕα ∂ 2η β ∂xp∂xq ) · ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj ] dx = ∫ Ω ( η T, (∇η) T, (∇2η) T ) ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇2ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇2ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇2ϕ ξ ∇ξ ∇2 ξ dx, 此处 ∇η := ( ∂ηα ∂xi ) ∈ R nm, ∇2η := ( ∂ 2η α ∂xi∂xj ) ∈ R nm2 , ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂ϕβ ) ∈ R (nm)×n , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂∇jϕβ ) ∈ R (nm)×(nm) , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇2ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂∇p∇qϕβ ) ∈ R (nm)×(nm2 ) , ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇2ϕ := ( ∂ 2f ∂∇i∇jϕα∂∇p∇qϕβ ) ∈ R (nm2 )×(nm2 ) . 3 应用事例 3.1 一般事例 事例 1 (平面上连接两点之间的最短曲线). 考虑泛函 C 1 ([a, b]; R) : Γ = R 2 ∋ ( x(t) y(t) ) 7→ A (Γ) = ∫ b a √ x˙ 2(t) + ˙y 2(t)dt 的最小值. 计算一阶变分, 有 dA dΓ (Γ)(ξ) = ∫ b a ∂f ∂Γ˙ (Γ˙) ˙ξdt, 故有 Euler-Lagrange 方程 − d dt ( ∂f ∂Γ˙ ) (t) = 0 ∈ R 2 , 5