三角函数的图形与性质教学设计 正弦、余弦函数的图象 教学目标: 知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx,x∈R的图象,明确图 象的形状 (2)根据关系cosx=sm(x+2),作出y=cosx,x∈R的图象; (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关 问题; 能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学 习和工作精神 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 、复习引入 1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设a是一个任意角,在a的终边上任取(异于原点的) 点P(x,y) P与原点的距离r(r=时+计=x2+y2>0) ∥xy 则比值2叫做a的正弦记作:sna=y r α 比值_叫做a的余弦记作:cosa x 3.正弦线、余弦线:设任意角a的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x轴的垂线,垂足为M,则有 sin a= y= MP. cosa=x=om a的终边 向线段MP叫做角a的正弦线,有向线段OM叫做角a 的余弦线 讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了 作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都 为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线 的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识 (1)函数y=sinx的图象
1 三角函数的图形与性质教学设计 正弦、余弦函数的图象 教学目标： 知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出 y = sin x, x R 的图象，明确图 象的形状； （2）根据关系 ) 2 cos sin( x = x + ，作出 y = cos x, x R 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关 问题； 能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学 习和工作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程： 一、复习引入： 1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的） 一点 P（x,y） P 与原点的距离 r( 0 2 2 2 2 r = x + y = x + y ) 则比值 r y 叫做 的正弦 记作： r y sin = 比值 r x 叫做 的余弦 记作： r x cos = 3.正弦线、余弦线：设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则有 MP r y sin = = ， OM r x cos = = 向线段 MP 叫做角α的正弦线，有向线段 OM 叫做角α 的余弦线． 二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了 作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都 为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线 的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数 y=sinx 的图象 r (x,y) P
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点O,以O为圆心作单位圆,从这 个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段 分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值一弧度制下角与实数的对应) 第二步:在单位圆中画出对应于角0.z,五,x,…,2π的正弦线正弦线 (等价于“列表”).把角ⅹ的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点ⅹ重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描 点”) 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 =sinx,x∈[0,2π]的图象 根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续 地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象 把角x(x∈R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象 xx氮 2 (2)余弦函数y=cosx的图象 探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换 得到余弦函数的图象? 根据诱导公式cosx=sin(x+x),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移z 单位即得余弦函数y=cosx的图象.(课件第三页“平移曲线”) 正 弦函 的 图象 和余 弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
2 第一步：在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ，以 O1 为圆心作单位圆，从这 个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π这一段 分成 n(这里 n=12)等份.（预备：取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角 6 0, ， 3 ， 2 ,…，2π的正弦线正弦线 （等价于“列表” ）.把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描 点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续 地平行移动，每次移动的距离为 2π，就得到 y=sinx，x∈R 的图象. 把角 x ( ) x R 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. （2）余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换 得到余弦函数的图象？ 根据诱导公式 cos sin( ) 2 x x = + ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 2 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ） 正 弦 函 数 y=si nx 的 图 象 和 余 弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ y=cosx y=sinx 2 3 4 5 6 - -2 -5 -4 -3 -6 -6 -5 -4 -3 -2 - 4 5 6 2 3 -1 1 y x -1 1 o x y
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) 正弦函数y=sinx,x∈[0,2x]的图象中,五个关键点是:(0,0)(x,1)(m,0) 余弦函数y= COSX X∈[0,2r]的五个点关键是哪几个?(0,1)(z,0)(π,-1) (,0)(2π,1) 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时, 常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例1作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2r] (2) y=-COSx 探究2.如何利用y=sinx,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻 转等)来得到 (1)y=1+sinx,x∈(0,2π)的图象 (2)y=sin(x-/3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动 探究3 如何利用y=cosx,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转 等)来得到y=-cosx x∈(0,2π)的图象? 小结:这两个图像关于X轴对称 探究4. 如何利用y=cosx,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等) 来得到y=2-cosx,x∈(0,2m)的图象? 小结:先作y=cosx图象关于x轴对称的图形,得到y=-cosx的图象, 再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到y=2-cosx的图象。 探究5 不用作图,你能判断函数y=sin(x-3m/2)和y=cosx的图象有何关系吗?请 在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。 /sH: sin(x-3 J/2)=sin[(X-3 /2)+2 =sin (x+ I/2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合 (1)sinx≥ (2)cosx≤=,(0<x< 三、巩固与练习 四、小结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:练习1,2
3 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( 2 ,1) (,0) ( 2 3 ,-1) (2,0) 余弦函数 y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( 2 ,0) (,-1) ( 2 3 ,0) (2,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时， 常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例： 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， （2）y=-COSx 探究 2． 如何利用 y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻 转等）来得到 （1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 探究３． 如何利用 y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转 等）来得到 y＝-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于 X 轴对称。 探究４． 如何利用 y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等） 来得到 y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形，得到 y＝-cosx 的图象， 再将 y＝-cosx 的图象向上平移 2 个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 探究５． 不用作图，你能判断函数 y=sin( x - 3π/2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗？请 在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。 小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x 的集合： 1 (1) sin ; 2 x 1 5 (2) cos , (0 ). 2 2 x x 三、巩固与练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 五、课后作业：练习 1，2
正弦、余弦函数的性质(1) 教学目的: 知识目标:要求能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最 小正周期。 德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊到一般的数学思 想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程: 、复习引入: 1.问题:(1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢?… (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律 自变量-2x3--2/0z|3z 2丌 函数值 0 10 °规律是:每隔2π重复出现一次(或者说每隔2kπ,k∈Z重复出 现) 3°这个规律由诱导公式sin(2k元+x)=sinx可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得 符号语言:当x增加2kr(k∈Z)时,总有 f(x+2kr)=sin(x+2kT)=sinx=f(x) 也即:(1)当自变量x增加2kπ时,正弦函数的值又重复出现 (2)对于定义域内的任意x,sin(x+2kx)=sinx恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 、讲解新课 1.周期函数定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的每一个值时,都有:f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 问题:(1)对于函数y=mx,x∈R相b3smn2,能否说是它的
4 正弦、余弦函数的性质（1） 教学目的： 知识目标：要求能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最 小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊到一般的数学思 想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量 x −2 3 2 − − 2 − 0 2 3 2 2 函数值 sin x 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 正弦函数 f x x ( ) sin = 性质如下： （观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2 规律是：每隔 2重复出现一次（或者说每隔 2k,kZ 重复出 现） 3 这个规律由诱导公式 sin(2k+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当 x 增加 2k （ k Z ）时，总有 f x k x k x f x ( 2 ) sin( 2 ) sin ( ) + = + = = ． 也即：（1）当自变量 x 增加 2k 时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意 x ，sin( 2 ) sin x k x + = 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数 y x = sin ，x R 有 2 sin( ) sin 6 3 6 + = ，能否说 2 3 是它的 – – 2 2 − −5 −2 − O 2 5 x y 1 −1
周期? (2)正弦函数y=sinx,x∈R是不是周期函数,如果是,周期是多少? (2k丌,k∈Z且k≠0) (3)若函数f(x)的周期为T,则kT,k∈z也是f(x)的周期吗?为什 么 (是,其原因为:f(x)=f(x+T)=f(x+27)=…=f(x+kT) 2、说明:1°周期函数x∈定义域M,则必有x+T∈M,且若T>0则定义域无上界; T<0则定义域无下界 2。“每一个值”只要有一个反例,则f(x)就不为周期函数(如f(x0+t)≠f (x) 3T往往是多值的(如y=sinx2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期)周 期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正 周期) y=sinx,y=cosx的最小正周期为2π(一般称为周期) 从图象上可以看出y=sinx,x∈R;y=cosx,x∈R的最小正周期为2r 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期?(f(x)=c没有最小 正周期) 3、例题讲解 例1求下列三角函数的周期:①y=3cosx②y=sn2x(3) y=2sin(x-2),x∈R 解:(1)∵3cos(x+2丌)=3cosx ∴自变量x只要并且至少要增加到x+2丌,函数y=3cosx,x∈R的值才能 重复出现, 所以,函数y=3cosx,x∈R的周期是2丌 (2). sin(2x+2r)=sin 2(x+r)=sin 2x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+丌,函数y=sin2x,x∈R的值才能重 复出现 所以,函数y=sin2x,x∈R的周期是 (3). 2sin(x-+2x)=2sin[-(x+r)-]=2sinGx--) ∴自变量x只要并且至少要增加到x+x,函数y=sin2x,x∈R的值才能
5 周期？ （2）正弦函数 y x = sin ， x R 是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （ 2k ， k Z 且 k 0 ） （3）若函数 f x( ) 的周期为 T ，则 kT ， * k Z 也是 f x( ) 的周期吗？为什 么？ （是，其原因为： f x f x T f x T f x kT ( ) ( ) ( 2 ) ( ) = + = + = = + ） 2、说明：1周期函数 x定义域 M，则必有 x+TM, 且若 T>0 则定义域无上界； T<0 则定义域无下界； 2“每一个值”只要有一个反例，则 f (x)就不为周期函数（如 f (x0+t)f (x0)） 3T 往往是多值的（如 y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周 期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正 周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2 （一般称为周期） 从图象上可以看出 y x = sin ，x R ； y x = cos ，x R 的最小正周期为 2 ； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （ f x c ( ) = 没有最小 正周期） 3、例题讲解 例 1 求 下 列 三 角 函 数 的 周 期 ： ① y = 3cos x ② y = sin 2x （ 3 ） 1 2 sin( ) 2 6 y x = − ， x R ． 解：（1）∵ 3cos( 2 ) 3cos x x + = ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x + 2 ，函数 y x = 3cos ， x R 的值才能 重复出现， 所以，函数 y x = 3cos ， x R 的周期是 2 ． （2）∵ sin(2 2 ) sin 2( ) sin 2 x x x + = + = ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x + ，函数 y x = sin 2 ，x R 的值才能重 复出现， 所以，函数 y x = sin 2 ， x R 的周期是 ． （3）∵ 1 1 1 2sin( 2 ) 2sin[ ( ) ] 2sin( ) 2 6 2 6 2 6 x x x − + = + − = − ， ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x + ，函数 y x = sin 2 ， x R 的值才能