1.4三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图,体会“几何法”作正弦函数图象的过程, 提高动手能力 2、通过函数图象的应用,体会数形结合在解题中的应用 3、三角函数图象和图象的应用; 自主梳理 1.正弦函数(或余弦函数)的概念 任意给定一个实数x,有唯一确定的值snx(或cosx)与之对应,由这个对应法则所确定的函数y=snx 或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域为 2.正弦曲线或余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 3.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) (1)正弦函数y=sinx,x∈[02z]的图象中,五个关键点是: (2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2r]的图象中,五个关键点是: 预习检测 1、函数y=sn(x+)的定义域为 值域为 2、函数y=2cos(x--)的定义域为 值域为 互动课堂 问题探究 【例】作出函数y=1-cosx在[2x,2]上的图像 x+3丌 【变式】 sin( 问题探究2 【例】已知x∈|-23 丌],解不等式snx≥ 【变式】已知x∈R,解不等式snx≥ 问题探究3: 【例】求下列函数的值域: (1)y=sin x +sin x (2)y=2sn(2x+x),x∈[-z,z1
1 1．4 三角函数的图象与性质 1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程， 提高动手能力； 2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用； 3、三角函数图象和图象的应用； 自主梳理 1． 正弦函数（或余弦函数）的概念 任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值 sin x （或 cos x ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数 y = sin x （或 y = cos x ）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为 。 2． 正弦曲线或余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 。 3． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： （1）正弦函数 y = sin x, x0,2 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。 （2）余弦函数 y = cos x, x0,2 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。 预习检测 1、函数 ) 3 sin( y = x + 的定义域为____________________；值域为____________________； 2、函数 ) 3 2cos( y = x − 的定义域为__________________；值域为____________________； 互动课堂 问题探究 1： 【例】 作出函数 y cos x 3 1 =1- 在 [−2 ,2 ] 上的图像； 【变式】 ) 2 3 sin( + = x y ； 问题探究 2： 【例】已知 ] 2 3 , 2 [ x − ，解不等式 2 3 sin x − ； 【变式】已知 xR ，解不等式 2 3 sin x − ； 问题探究 3： 【例】求下列函数的值域： （1） y =|sin x | +sin x （2） ] 6 , 6 ), [ 3 2sin( 2 y = x + x −
(3)y COS x-2 【变式】求函数y=3sn2x-4snx+1,x∈[,x]的值域 问题探究4: 【例】(1)讨论方程gx=snx解的个数 (2)若函数f(x)=snx+2| sin x,x∈[0,2]与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围 【变式】当k为何值时,方程snx+2|sinx}k有一解、三解、四解? 课堂练习 1、在同一坐标系内的函数y=snx与y=cosx的图象的交点坐标是() A.(kx,0),k∈z B(2kx+-,1),k∈z C(kx+,(-1)),k∈z ,k∈z 2、下面有四个判断: ①作正、余弦函数的图象时,单位圆的半径长与x轴上的单位长可以不一致 ②y=snx,x∈D2]的图象关于P(x0)成中心对称 ③y=cosx,x∈[02r]的图象关于直线x=z成轴对称 ④正、余弦函数的图象不超过两直线y=1,y=-1所夹的范围。 其中正确的有() 个D4 3、与图中曲线对应的函数是 A y=sin/x C y y 4、在(0,2x)内,使Snx>cosx成立的x的取值范围是() 5丌 5x3丌 A (,丌)C d UC 反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获 选作:函数y=f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积成为函数f(x)在[a,b]上的面 积,已知函数y=sinx在[0,一]上的面积为二,n∈N,则(1)函数y=n3x在[O,-]上的面积为 (2)函数y=sn(3x-x)+1在[,]上的面积为
2 （3） cos 1 cos 2 − − = x x y 【变式】求函数 , ] 3 3sin 4sin 1, [ 2 y = x − x + x 的值域； 问题探究 4： 【例】（1）讨论方程 lg x = sin x 解的个数； （2）若函数 f (x) = sin x + 2 |sin x |, x[0,2 ] 与直线 y = k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围； 【变式】当 k 为何值时，方程 sin x + 2 |sin x |= k 有一解、三解、四解？ 课堂练习 1、在同一坐标系内的函数 y = sin x 与 y = cos x 的图象的交点坐标是 （ ） A． (k,0), k Z B k + ,1), k Z 2 (2 C k k Z k + ,(−1) ), 2 ( D k k Z k − + ), 2 ( 1) , 4 ( 2、下面有四个判断： ① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与 x 轴上的单位长可以不一致； ② y = sin x, x0,2 的图象关于 P(,0) 成中心对称； ③ y = cos x, x0,2 的图象关于直线 x = 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线 y = 1, y = −1 所夹的范围。 其中正确的有 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3、与图中曲线对应的函数是 （ ） x y π 1 -π O 2π A y = sin x B y = sin x C y = −sin x D y = −sin x 4、在 (0,2 ) 内，使 sin x cos x 成立的 x 的取值范围是（ ） A ) 4 5 ) ( , 2 , 4 ( B , ) 4 ( C ) 4 5 , 4 ( D ) 2 3 , 4 5 , ) ( 4 ( 反思总结： 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法； 2、这节课你学到了哪些数学思想方法？ 3、你还有哪些收获？ 选作：函数 y = f (x) 的图象与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成图形的面积成为函数 f (x) 在 [a,b] 上的面 积，已知函数 y = sin nx 在 [0, ] n 上的面积为 + n N n , 2 ，则（1）函数 y = sin 3x 在 ] 3 2 [0, 上的面积为 ___________________；（2）函数 y = sin( 3x − ) +1 在 ] 3 4 , 3 [ 上的面积为_______________________；
142正、余弦函数的性质(一) 学习目标 1、理解周期和周期函数的概念,掌握正弦函数、余弦函数的周期性; 2、掌握证明或求解函数周期的基本方法 3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质,培养数形结合的能力: 自主预习 1.周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时, 都有:f(x+7)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。若函数 f(x)的周期为T,则 也是f(x)的周期。即 ∫(x)=f(x+7)=f(x+27)=…f(x+kDk∈Z,k≠0 2.正弦函数y=snx,x∈R是周期函数,它的周期是 最小正周期 是 3.正弦函数y=cosx,x∈R是周期函数,它的周期是 ;最小正周期 是 4.函数y= Asin( ax+q)x∈R,(其中A,O,为常数,且A≠0,O>0)是周期函数,它的最小正周 期T 5.函数y=Acos(ax+q),x∈R,(其中A,O,q为常数,且A≠0,O>0)是周期函数,它的最小正周 期T 预习检测 1、函数y=2sn2x的最小正周期为 2、函数y=2c0sx+3的最小正周期为 互动探究 问题探究1 【例】(1)下列函数中,周期为一的是() B y=sin 2x C y=cOS D y=cos 4x 2 (2)函数y=si(ax+r)(a≠0)的周期为 【变式】 (1)函数y=3cos(=x--)的最小正周期是 A C 2 (2)函数y sin x 的周期是 tan x 问题研究2: 【例】作出下列函数的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说出其最小正周期。 (1)y=sin/x) (2) 【变式】求函数y=cos(2x+)的最小正周期
3 1.4.2 正、余弦函数的性质（一） 学习目标 1、理解周期和周期函数的概念，掌握正弦函数、余弦函数的周期性； 2、掌握证明或求解函数周期的基本方法； 3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质，培养数形结合的能力； 自主预习 1． 周期函数的定义：对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， 都有： f (x + T) = f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。若函数 f (x) 的周期为 T ， 则 也 是 f (x) 的周期。即 f (x) = f (x + T) = f (x + 2T) = ... f (x + k T), k Z, k 0 2． 正弦函数 y = sin x, x R 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期 是 ； 3． 正弦函数 y = cos x, x R 是周期函数，它的周期是 ；最小正周期 是 ； 4． 函数 y = Asin(x +), x R, （其中 A,, 为常数，且 A 0, 0 ）是周期函数，它的最小正周 期 T = ； 5． 函数 y = Acos(x +), x R, （其中 A,, 为常数，且 A 0, 0 ）是周期函数，它的最小正周 期 T = ； 预习检测： 1、函数 y = 2sin 2x 的最小正周期为____________； 2、函数 3 2 1 y = 2cos x + 的最小正周期为____________； 互动探究 问题探究 1： 【例】（1）下列函数中，周期为 2 的是 （ ） A 2 sin x y = B y = sin 2x C 4 cos x y = D y = cos 4x （2）函数 y = sin( ax + ) （ a 0 ）的周期为 【变式】 （1）函数 ) 5 6 2 3cos( y = x − 的最小正周期是 （ ） A 5 2 B 2 5 C 2 D 5 （2）函数 x x y tan sin = 的周期是 问题研究 2： 【例】 作出下列函数的图象，并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数，说出其最小正周期。 （1） y = sin x （2） y = sin x 【变式】 求函数 )| 6 | cos(2 y = x + 的最小正周期；
课堂练习 设函数f(x)=si(2、丌、y=R,则f(x)是() A最小正周期为丌的奇函数 B最小正周期为x的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为一的偶函数 2、作出函数y=2cx+1的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说出其最小 正周期。 反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获? 142正、余弦函数的性质(二) 学习目标: 1、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性 2、通过正余弦函数的图象来理解性质,培养数形结合的能力: 3、体会正余弦函数的有界性,并根据此性质来解决一些最值有关的问题; 自主梳理: 1.奇偶性 (1)正弦函数的奇偶性:如果点(x,y)是函数y=sinx的图象上任意一点,那么与它关于原点对称的 点 也在函数y=snx的图象上,这时我们说函数y=sinx是 函数。即:若 则称函数∫(x)为奇函数 (2)余弦函数的奇偶性:如果点(x,y)是函数y=cosx的图象上任意一点,那么与它关于y轴对称的 点 也在函数y=cosx的图象上,这时我们说函数y=cosx是 函数。即:若 则称函数∫(x)为偶函数 2.单调性 (1)正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数,其值从 1增大到1:在每一上闭区间 上都是减函数,其值从1减小到-1 (2)余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数,其值从 1增大到1。在每一个闭区间 上都是减函数,其值从l减小到-1 3.对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为 对称中心为 余弦曲线的对称轴为 对称中心为 预习检测 1、函数y=2sn2x的单调递增区间为 2、比较大小:snl cOS 160°; 3、函数y=√2sn2x的奇偶性为(
4 课堂练习 1、设函数 f x = x − ), x R 2 ( ) sin( 2 ，则 f (x) 是 （ ） A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 2 的奇函数 D 最小正周期为 2 的偶函数 2、作出函数 y = 2cos x +1 的图象，并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数，说出其最小 正周期。 反思总结： 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法； 2、这节课你学到了哪些数学思想方法？ 3、你还有哪些收获？ 1.4.2 正、余弦函数的性质（二） 学习目标： 1、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性； 2、通过正余弦函数的图象来理解性质，培养数形结合的能力； 3、体会正余弦函数的有界性，并根据此性质来解决一些最值有关的问题； 自主梳理： 1． 奇偶性 （1） 正弦函数的奇偶性：如果点 (x, y) 是函数 y = sin x 的图象上任意一点，那么与它关于原点对称的 点__________也在函数 y = sin x 的图象上，这时我们说函数 y = sin x 是_______函数。即：若 __________________，则称函数 f (x) 为奇函数。 （2） 余弦函数的奇偶性：如果点 (x, y) 是函数 y = cos x 的图象上任意一点，那么与它关于 y 轴对称的 点___________也在函数 y = cos x 的图象上，这时我们说函数 y = cos x 是_______函数。即：若 __________________，则称函数 f (x) 为偶函数。 2． 单调性 （1） 正弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从 −1 增大到 1 ；在每一上闭区间______________________________上都是减函数，其值从 1 减小到−1。 （2） 余弦函数在每一个闭区间______________________________上都是增函数，其值从 −1 增大到 1 。在每一个闭区间______________________________上都是减函数，其值从 1 减小到−1。 3． 对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为________________________；对称中心为_______________________； 余弦曲线的对称轴为________________________；对称中心为_______________________； 预习检测 1、函数 y = 2sin 2x 的单调递增区间为_____________________； 2、比较大小： 0 0 sin 194 ________ cos160 ； 3、函数 y = 2 sin 2x 的奇偶性为 （ ）
A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数 互动探究 问题探究1 【例】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=√2sin(2x+=) (2)f(x)=√2snx-1 【变式】f(x)= lg(sin x+√1+sn2x) 问题探究2: 【例】求函数y=3sn(2x+2)的对称轴方程 【变式】若∫(x)=snx+ acos x的图象关于直线x=乙对称,求a的值: 问题探究3: 【例】求下列函数的单调区间:(1)y=sim(-2x):(2)y=kog1c0sx+ 【变式】求函数y=-|sn(x+)的单调区间; 问题探究4: 【例】求下列函数的值域:(1)y=3+2c0(2x+-);(2)y=2sm(2x+-,x∈[ 66 【变式】若y=a+bmnx的值域是31,求ab的值 课堂练习 1、同时具有以下性质:“①函数的最小正周期是丌:②函数图象关于直线x=对称:③在 是增函数”的一个函数是() A x_)B J=cos(2x+ m(2x--) J=cOs(2T 2、(1)函数y=sn(x+xXx∈R)在() 上是增函数 BD.z]上是减函数 C[0]上是减函数 D[x,z]是减函数 (2)y=2sn2x·cosx+2cos3x的奇偶性为() A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数
5 A 奇函数 B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数 互动探究 问题探究 1： 【例】判断下列函数的奇偶性 （1） ) 2 5 f (x) = 2 sin( 2x + （2） f (x) = 2sin x −1 【变式】 ( ) lg(sin 1 sin ) 2 f x = x + + x 问题探究 2： 【例】求函数 ) 6 3sin( 2 y = x + 的对称轴方程； 【变式】若 f (x) = sin x + a cos x 的图象关于直线 6 x = 对称，求 a 的值； 问题探究 3： 【例】求下列函数的单调区间：（1） 2 ) 4 y = sin( − x ；（2） ) 3 4 log cos( 2 1 = + x y 【变式】求函数 ) | 4 |sin( y = − x + 的单调区间； 问题探究 4： 【例】求下列函数的值域：（1） ) 3 3 2cos(2 y = + x + ；（2） ] 6 , 6 ), [ 3 2sin( 2 y = x + x − 【变式】若 y = a + bsin x 的值域是 ] 2 3 , 2 1 [− ，求 a,b 的值； 课堂练习 1、同时具有以下性质：“①函数的最小正周期是 ；②函数图象关于直线 3 x = 对称；③在 − 3 , 6 上 是增函数”的一个函数是 （ ） A ) 2 6 sin( = + x y B ) 3 cos(2 y = x + C ) 6 sin( 2 y = x − D ) 6 cos(2 y = x − 2、（1）函数 )( ) 2 y = sin( x + x R 在 （ ） A − 2 , 2 上是增函数 B 0, 上是减函数 C −,0 上是减函数 D −, 上是减函数 （2） y x x x 2 3 = 2sin cos + 2cos 的奇偶性为 （ ） A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数