人教版高中数学必修精品教学资料 14三角函数的图象和性质小结 【学习目标】 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的 交点等),理解正切函数在区间(z,z)内的单调性 【新知自学】 迟理 1.周期函数及最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 ,则称f(x)为周期函数,T为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数, 则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin X y-cos X y=tan x 图象 X∈R且x≠- 定义域 x∈R x∈R k,k∈ 值域 上递增,k∈ 上递增,k∈ 上递增,k∈ 单调性 Z:在上递减,k 在 上递减,k∈ Z Z Z (k∈Z) (k∈Z) 最值 无最值 (k∈Z) (k∈Z)
人教版高中数学必修精品教学资料 1.4 三角函数的图象和性质 小结 【学习目标】 1．能画出 y＝sin x,y＝cos x,y＝tan x 的图象,了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的 交点等),理解正切函数在区间 （ ， ） 2 2 - 内的单调性． 【新知自学】 知识梳理： 1．周期函数及最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 __________,则称 f(x)为周期函数,T 为它的一个周期．若在所有周期中,有一个最小的正数, 则这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 x∈R x∈R x∈R 且 x≠ π 2 ＋ kπ,k∈Z 值域 ______ ______ ______ 单调性 在______上递增,k∈ Z；在______上递减,k ∈Z 在______上递增,k∈ Z； 在______上递减,k∈ Z 在______上递增,k∈ Z 最值 x＝________(k∈Z) 时,ymax＝1； x＝________(k∈Z) x＝________(k∈Z) 时,ymax＝1；x＝ __________(k∈Z) 无最值
时,Jain=-1 奇偶性 对称中心 称 对称轴 无对称轴 最小正 周期 对点练习 1、函数y=cos(x+,x∈R() A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2.下列函数中 ,π上是增函数的是( A. y=sin x y=cos X 2x D. y=cos 2x 3.函数y=cos2x+ 2图象的一条对称轴方程是( D.x=丌 4.函数r(x)= =tan X(a>0)的图象的相邻的两支截直线y=2所得线段长为,则 值是(). A B 5.已知函数y=sinx的定义域为,值域为-1,a则b-a的值不可能是()
时,ymin＝－1 时,ymin＝－1 奇偶性 ________ ________ ________ 对 称 性 对称中心 ______ ______ ______ 对称轴 ______ ____ 无对称轴 最 小正 周期 ______ ______ ______ 对点练习： 1、函数 y＝cos x＋ π 3 ,x∈R( )． A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是 偶函数 2．下列函数中,在 π 2 ，π 上是增函数的是( )． A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x 3．函数 y＝cos 2x＋ π 2 的图象的一条对称轴方程是( )． A．x＝－ π 2 B．x＝－ π 4 C．x＝ π 8 D．x＝π 4．函数 f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻的两支截直线 y＝ π 4 所得线段长为π 4 ,则 f π 4 的值是( )． A．0 B．1 C．－1 D． π 4 5．已知函数 y＝sin x 的定义域为,值域为 － 1， 1 2 ,则 b－a 的值不可能是( )．
2 4丌 【合作探究】 典例精析 角函数的定义域与值域 例1、(1)求函数y= Ig sin2x+9-x定义域 2)求函数y=cos2x+sinx≤元)的最大值与最小值 超律总结 1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象 来求解 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用sinx,cosx的值域
A． π 3 B． 2π 3 C．π D． 4π 3 【合作探究】 典例精析： 一、三角函数的定义域与值域 例 1、(1)求函数 y＝lg sin 2x＋ 9－x 2的定义域． (2)求函数 y＝cos 2 x＋sin x |x|≤ π 4 的最大值与最小值． 规律总结： 1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象 来求解． 2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用 sin x,cos x 的值域；
(2)化为y=Asin(ax+φ)+k的形式,逐步分析ax+φ的范围,根据正弦函数单调性写 出值域 (3)换元法:把 或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题 变式簇习L (1)求函数y=√sinx-cosx的定义域 已知函数=0(2-3)+21(-1).sn(+)求函数动在区间 工,正上的最大值与最小值 、三角函数的单调性 例2、(1)已知函数f(x)=2sin(ax+中),x∈R,其中a>0,一π<φ≤π.若f(x)的最 小正周期为6π,且当x=。时,f(x)取得最大值,则()
(2)化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式,逐步分析 ωx＋φ 的范围,根据正弦函数单调性写 出值域； (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 变式练习 1： (1)求函数 y＝ sin x－cos x的定义域． (2) 已 知函 数 f(x)＝ cos 2x－ π 3 ＋ 2sin x－ π 4 ·sin x＋ π 4 , 求函数 f(x) 在区间 － π 12， π 2 上的最大值与最小值． 二、三角函数的单调性 例 2、（1）已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ),x∈R,其中 ω＞0,－π＜φ≤π.若 f(x)的最 小正周期为 6π,且当 x＝ π 2 时,f(x)取得最大值,则( )．
A.f(x)在区间上是增函数 B.f(x)在区间上是增函数 C.f(x)在区间上是减函数 D.f(x)在区间上是减函数 11 4,24」的最大值和最小值 超律总 1.熟记y=sinx,y=cosx,y=tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础 2.求形如y=in(r+中)+k的单调区间时,只需把x+中看作一个整体代入y=sin 的相应单调区间即可,注意A的正负以及要先把a化为正数 变式然习2 (1)若函数y=2cosωx在区间上递减,且有最小值1,则a的值可以是( (2)函数f(x)=sin-2x+。的单调减区间为
A．f(x)在区间 上是增函数 B．f(x)在区间上是增函数 C．f(x)在区间上是减函数 D．f(x)在区间上是减函数 （2）设 a∈R,f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos 2 π 2 －x 满足 f － π 3 ＝f(0),求函数 f(x) 在 π 4 ， 11π 24 上的最大值和最小值． 规律总结： 1．熟记 y＝sin x,y＝cos x,y＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础． 2．求形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的单调区间时,只需把 ωx＋φ 看作一个整体代入 y＝sin x 的相应单调区间即可,注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数． 变式练习 2： （1）若函数 y＝2cosωx 在区间上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可以是( ) A. 2 B. 1 2 C. 3 D. 1 3 （2）函数 f(x)＝sin －2x＋ π 3 的单调减区间为_____________．