《高等流体力学》第五章 轴对称运动（5.1-5.9）

5.2 Stokes流函数 Stokes流函数的性质 过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以2丌,等于通过以这两点的 任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。 do=u, rde-uedr] 2rsin e royde+ dr2Trsin 0 B r-sin0 a8 raine ar de 2r oy de+ ov dr=2 dy dl urde sin e 2=27 dy=2z(vVB-vA) A A

5.2 Stokes 流函数 Stokes 流函数的性质 过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以 ，等于通过以这两点的 任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。 2   2 2 sin 1 2 sin sin sin 2 2 r dQ u rd u dr r r d dr r r r r d dr d r                    = −     = +           = + =       ( )  = = − B A Q 2 d 2  B  A  rsin dl drrd dl r u rd u dr  A B

5.3势流方程的解 分离变量 =p(r,6)满足拉氏方程, dR 1 d sin e r dr Tsin 0 de de 0(,20 sin e 方程一边是r的函数,一边是b ar r sin a0 06 的函数,要恒等必需两边均等于常数, d 2dR p=R(r)(6) =(+1) r dr dr T d(2 dR r d d T dr( dr sin do sin 8 sin e (+1) de Tsin e de de 两边同乘以 式中l可为整数也可为非整数。 RT

5.3 势流方程的解 分离变量  = (r, ) 满足拉氏方程， sin 0 sin 1 1 2 2 2  =           +                r r r r r  = R(r)T( ) sin 0 sin 2 2 2  =       +          d dT d d r R dr dR r dr d r T RT r 2 两边同乘以        = −          d dT d d dr T dR r dr d R sin sin 1 2 1 方程一边是 r 的函数，一边是  的函数，要恒等必需两边均等于常数， ( 1) 1 2  = +      l l dr dR r dr d R sin ( 1) sin 1  = +      − l l d dT d d T     式中 l 可为整数也可为非整数

5.3势流方程的解 勒让德方程 sin0+(+1)T=0 sin e de de ≈(cos)为第二类勒让德函数,当 有值发散,所以应取 x=cOs、oadx D,=0 SIn ae ax de P(cosO)是第一类勒让德函数,当1不 dT +l(+1)T=0 为整数时,其在cosθ=±1时发散。 dx lx 取l=0,1,2, 上式为勒让德方程,通解为 7(6)=C1P(cos)l取整数 T(0)=C P(cos0)+D,e,(cos 0)

勒让德方程 5.3 势流方程的解 sin ( 1) 0 sin 1  + + =      l l T d dT d d     x = cos d x dx x   = −   =      sin (1 ) ( 1) 0 2 + + =       − l l T dx dT x dx d () (cos) (cos) Tl = Cl Pl + Dl Ql () (cos) Tl = Cl Pl cos = 1 (cos) Pl l = 0, 1, 2,  是第一类勒让德函数，当 l 不 为整数时，其在 时发散。 取 l 取整数。 上式为勒让德方程，通解为 (cos) Ql Dl = 0 cos = 1 为第二类勒让德函数，当 时对所有的 l 值发散，所以应取

5.3势流方程的解 欧拉方程 R的方程, dr dR +2r (+1)R=0 c 为欧拉方程,对于非负整数,欧拉方程通解可写为, R(r)=ar B

5.3 势流方程的解 欧拉方程 2 ( 1) 0 2 2 2 + − l l + R = dr dR r dr d R r 为欧拉方程，对于非负整数，欧拉方程通解可写为， 1 ( ) + = + l l l l l r B R r A r R 的方程

5.3势流方程的解 势函数通解 根据线性方程解的叠加原理,势函数的通解可由勒让德方程的解和欧 拉方程的解叠加而成, B 叭(r,O)=∑4r+20|P(cos) 勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为, P(x) 2 0 dx 其前3项分别是, B0(x)=1 (x)=x P2(x)

5.3 势流方程的解 势函数通解 根据线性方程解的叠加原理，势函数的通解可由勒让德方程的解和欧 拉方程的解叠加而成，   = +         = + 0 1 ( , ) (cos ) l l l l l l P r B  r  A r  勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为， 其前3项分别是， ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = x − dx d l P x l l l l P0 (x) =1 P (x) = x 1 (3 1) 2 1 ( ) 2 P2 x = x −