《高等流体力学》第十一章例题

1.拉格朗日变数(ab,c)给出的流体运动规律为x=ae2,y=b(1+t) - ce l)求以欧拉变数描述的速度场 2)问流动是否定常 3)求加速度。 解:1)设速度场的三个分量是,l2, x e t =2b(1+) 2b(1+t) 1+t =2ce2(+1)2-(1+1)3] 2ce(1+t) at 1+t 消去以上表达式中的拉格朗日变数, n2y w1+ 2zt u=-2x v 1+t

1. 拉格朗日变数 (a, b, c) 给出的流体运动规律为 2 2 , (1 ) , t x ae y b t − = = + 2 2 (1 ) t z ce t − = + 1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。 解: 1) 设速度场的三个分量是, u v w , , 2 2 x t u ae t  − = = −  2 2 (1 ) 2 (1 ) 1 y b t v b t t t  + = = + =  + 2 2 2 2 3 2 (1 ) 2 [(1 ) (1 ) ] 1 t z ce t t t w ce t t t t −  + − − = = + − + =  + 2 2 2 , , 1 1 y zt u x v w t t = − = = + + 消去以上表达式中的拉格朗日变数

2y X. y 1+t 1+t 2)欧拉表达式中包括变量t,是不定常流动。 3)在欧拉参考系中求加速度 au u 2x(-2)=4x 2y+ Oy(1+1)21+t1+t(1+1) Ow Ow 2z 2zt 2zt 2t 2=(1+2t) ato1+t(1+1)21+t1+t(1+1)

2) 欧拉表达式中包括变量t , 是不定常流动。 3）在欧拉参考系中求加速度 2 ( 2) 4 x u a u x x x  = = − − =  2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 (1 ) y v v y y y a v t y t t t t   − = + = + =   + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 1 (1 ) 1 1 (1 ) z w w z zt zt t z t a w t z t t t t t   + = + = − + =   + + + + + 2 2 2 , , 1 1 y zt u x v w t t = − = = + +

在拉格朗日参考系中求加速度, (-2ae)=4ae=4x t at [2b(1+)=2b=2y 4cet 2ce 6ce-t 2ce a-t at (1+1)」(1+1)3(1+1)3(1+ 2ce[2(1+)+(1+t)-3]2ce"(2t2+1)2z(2t2+1) (1+1) (1+t)

2 2 2 2 ( 2 ) 4 4 t t x x a ae ae x t t   − − = = − = =   2 2 2 2 [2 (1 )] 2 (1 ) y y y a b t b t t t   = = + = =   + 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 2 6 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) t t t t z z t ce t ce ce t a ce t t t t t t     = = = + −     + + + +   2 2 2 2 4 4 2 2 [2 (1 ) (1 ) 3 ] 2 (2 1) 2 (2 1) (1 ) (1 ) (1 ) t t ce t t t t ce t z t t t t + + + − + + = = = + + + 在拉格朗日参考系中求加速度

2.设平面剪切运动的速度分布为=ay,v=w=0试求 1)涡量V× 2)应变率张量S 3)旋转张量an 4)变形速度SnOx和旋转速度anδx 解 1)Vxi=a/ax a/dy a10z=-ak 0 0a/20 a/200 000

1) 涡量 2) 应变率张量 3) 旋转张量 4) 变形速度 和旋转速度 2.设平面剪切运动的速度分布为 u ay v w = = = , 0 试求: u   ij s ij a ij j s x  解: / / / 0 0 i j k u x y z ak ay       =       = −       0 / 2 0 / 2 0 0 0 0 0 ij a s a     =       ij j a x  1) 2)

0a/20 0 0a/20δx1「ay/2 a/200δ aSx/2 000‖|z 0 0 /20‖|x aox a/2006y a6x/2 0006z

0 / 2 0 / 2 0 0 0 0 0 ij a a a     = −      0 / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 0 0 0 0 ij j a x a y s x a y a x z                   = =                   0 / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 0 0 0 0 ij j a x a y a x a y a x z                   = − = −                   3) 4) 5)