2.1节：向量范数 由于C上最著名的范数是p范数，也称赫尔德(holder)范数 。=(xP,x=,,…,r∈C 这里1≤p<o0,其中最常用的是p=1,2时的p范数，即 x:=xx2=(区x)。 当p=o时，‖= 关于‖·h和川·川。满足范数定义的三条是容易的，而要验证 ‖·lp(1<p<oo)是C上的向量范数，则需要著名holder的不等式： 含K≤I=(空xP2 其中x=(x1,忽，…，x)T,y=(y1,2,…,y)T∈C”,p,g均为大于1 的实数，且满足 +=1. 0a0 矩阵理论课程细（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月5/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 由于 C n 上最著名的范数是 p 范数，也称赫尔德（holder）范数. ∥x∥p = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p , x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n . 这里 1 ≤ p < ∞，其中最常用的是 p = 1, 2 时的 p 范数，即 ∥x∥1 = Pn i=1 |xi | ∥x∥2 = (Pn i=1 |xi | 2 ) 1 2 . 当 p = ∞ 时，∥x∥∞ = max 1≤i≤n |xi |. 关于 || · ||1 和 || · ||∞ 满足范数定义的三条是容易的，而要验证 || · ||p(1 < p < ∞) 是 C n 上的向量范数，则需要著名 holder 的不等式： Pn i=1 |xiyi | ≤ ||x||p||y||q = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p ( Pn i=1 |xi | q ) 1 q 其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T，y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ C n，p, q 均为大于 1 的实数，且满足 1 p + 1 q = 1. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 5 / 70
2.1节：向量范数 证明：当×卡0时，x至少有一个分量不为零，按定义显然有 p=(xP+2P+·+xP)/P>0.而且x=0当且仅当 x=0. 4口+4四左·生·生QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月6/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 证明: 当 x ̸= 0 时，x 至少有一个分量不为零，按定义显然有 ||x||p = (|x1| p + |x2| p + · · · + |xn| p ) 1/p > 0. 而且 ||x|| = 0 当且仅当 x = 0. 对任意 k ∈ C，任意向量 x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n 按定义有 ||kx||p = ||(kx1, kx2, · · · , kxn) T||p = ( Pn i=1 |kxi | p ) 1 p = |k|( Pn i=1 |xi | p ) 1 p = |k| ∥x∥. 对任意两个向量 x, y ∈ C n，其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T， y = (y1, y2, · · · , yn) T，则 Pn k=1 |xk + yk| p = Pn k=1 |xk + yk| p−1 |xk + yk| ≤ Pn k=1 |xk + yk| p−1 |xk| + Pn k=1 |xk + yk| p−1 |yk| 利用 holder 的不等式，可得 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 6 / 70
2.1节：向量范数 证明：当×≠0时，×至少有一个分量不为零，按定义显然有 lp=(xP+2P+…+xP)/P>0.而且l=0当且仅当 x=0. 对任意k∈C,任意向量x=(,为，…，x)T∈C”按定义有 k6。=6,e,…,kx)=(空eP°=（三xP°=内X 4口+4四，，左·生·生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月6/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 证明: 当 x ̸= 0 时，x 至少有一个分量不为零，按定义显然有 ||x||p = (|x1| p + |x2| p + · · · + |xn| p ) 1/p > 0. 而且 ||x|| = 0 当且仅当 x = 0. 对任意 k ∈ C，任意向量 x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n 按定义有 ||kx||p = ||(kx1, kx2, · · · , kxn) T||p = (Pn i=1 |kxi | p ) 1 p = |k|( Pn i=1 |xi | p ) 1 p = |k| ∥x∥. 对任意两个向量 x, y ∈ C n，其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T， y = (y1, y2, · · · , yn) T，则 Pn k=1 |xk + yk| p = Pn k=1 |xk + yk| p−1 |xk + yk| ≤ Pn k=1 |xk + yk| p−1 |xk| + Pn k=1 |xk + yk| p−1 |yk| 利用 holder 的不等式，可得 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 6 / 70
2.1节：向量范数 证明：当×≠0时，×至少有一个分量不为零，按定义显然有 lp=(xP+2P+…+xnP)/P>0.而且l=0当且仅当 x=0. 对任意k∈C,任意向量x=(x,2,·,x)I∈C”按定义有 Ikp=IKa,6,kc,)In=宫1kxP”=k空XP'=因 对任意两个向量x,y∈C,其中x=(x,忽，·，x)「， y=(n.y2....yn),y+yle-+yl ≤x+%P-k+x+yWP-利用holder的不等式，可得 4口+4@左·生·生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月6/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 证明: 当 x ̸= 0 时，x 至少有一个分量不为零，按定义显然有 ||x||p = (|x1| p + |x2| p + · · · + |xn| p ) 1/p > 0. 而且 ||x|| = 0 当且仅当 x = 0. 对任意 k ∈ C，任意向量 x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n 按定义有 ||kx||p = ||(kx1, kx2, · · · , kxn) T||p = (Pn i=1 |kxi | p ) 1 p = |k|( Pn i=1 |xi | p ) 1 p = |k| ∥x∥. 对任意两个向量 x, y ∈ C n，其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T， y = (y1, y2, · · · , yn) T，则 Pn k=1 |xk + yk| p = Pn k=1 |xk + yk| p−1 |xk + yk| ≤ Pn k=1 |xk + yk| p−1 |xk| + Pn k=1 |xk + yk| p−1 |yk| 利用 holder 的不等式，可得 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 6 / 70
2.1节：向量范数 定理2.1.1 (1)对任意1≤p<g及任意的x∈C”有，Ilg≤川xp: 4口卡4，老·生·生分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月7/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定理 2.1.1 (1) 对任意 1 ≤ p < q 及任意的 x ∈ C n 有，||x||q ≤ ||x||p： (2) 对任意的 x ∈ C n 有， lim p→∞ ||x||p = ||x||∞. 证明 (1) 略 (2) 设 ω = max 1≤i≤n |xi |，则 ∥x∥p = ( Pn k=1 xi ω p ω p ) 1 p = ω( Pn k=1 xi ω p ) 1 p . 由于 xi ω ≤ 1，因而 Pn i=1 xi ω ≥ 1，故 1 ≤ Pn i=1 xi ω p ≤ n，所以 1 ≤ ( Pn i=1 xi ω p ) 1 p ≤ n 1 p . 由 L’Hospital 法则可知， lim p→∞ n 1 p = 1，于是有 lim p→∞ ||x||p = ω = ||x||∞. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 7 / 70