2.1节：向量范数 由定义2.1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (四当×≠0时，×=1 (2)对任意向量×∈V,有‖-=l: (3)川-I≤x- (4)1l-州I≤Ix+ 性质(1)与（(2)是显然成立的，下面证明性质(3) 因为=x-y+≤x-+Ml,所以-≤x- 同理可证-≤ly-刘=‖-(x-y训=x-yl, 即川x-l≥-x-. 综上有1-ly1≤x-州 若用-y代替性质(3)中的y,便得到性质(4) 口+①左·生·生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院】 矩阵理论 2021年9月4/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 1 由定义 2.1.1 可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (1) 当 x ̸= 0 时， 1 ||x||x = 1; (2) 对任意向量 x ∈ V，有 || − x|| = ||x||; (3)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||; (4)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x + y||; 性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为 ||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y||，所以 ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||. 同理可证 ||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = || − (x − y)|| = ||x − y||， 即 ||x|| − ||y|| ≥ −||x − y||. 综上有 | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||. 若用 −y 代替性质（3）中的 y，便得到性质（4） 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 4 / 70
2.1节：向量范数 由于Cm上最著名的范数是p范数，也称赫尔德(holder)范数 =(P)”,x=(k,2,…T∈C 4口+40法··是QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月5/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 由于 C n 上最著名的范数是 p 范数，也称赫尔德（holder）范数. ∥x∥p = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p , x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n . 这里 1 ≤ p < ∞，其中最常用的是 p = 1, 2 时的 p 范数，即 ∥x∥1 = Pn i=1 |xi | ∥x∥2 = ( Pn i=1 |xi | 2 ) 1 2 . 当 p = ∞ 时，∥x∥∞ = max 1≤i≤n |xi |. 关于 || · ||1 和 || · ||∞ 满足范数定义的三条是容易的，而要验证 || · ||p(1 < p < ∞) 是 C n 上的向量范数，则需要著名 holder 的不等式： Pn i=1 |xiyi | ≤ ||x||p||y||q = ( Pn i=1 |xi | p ) 1 p ( Pn i=1 |xi | q ) 1 q 其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T，y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ C n，p, q 均为大于 1 的实数，且满足 1 p + 1 q = 1. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 5 / 70
2.1节：向量范数 由于C”上最著名的范数是p范数，也称赫尔德(holder)范数 。=(宫x,x=伪，…，xr∈c 这里1≤p<o0,其中最常用的是p=1,2时的p范数，即 I:=含M。=含 口卡+①三·是定Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月5/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 由于 C n 上最著名的范数是 p 范数，也称赫尔德（holder）范数. ∥x∥p = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p , x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n . 这里 1 ≤ p < ∞，其中最常用的是 p = 1, 2 时的 p 范数，即 ∥x∥1 = Pn i=1 |xi | ∥x∥2 = (Pn i=1 |xi | 2 ) 1 2 . 当 p = ∞ 时，∥x∥∞ = max 1≤i≤n |xi |. 关于 || · ||1 和 || · ||∞ 满足范数定义的三条是容易的，而要验证 || · ||p(1 < p < ∞) 是 C n 上的向量范数，则需要著名 holder 的不等式： Pn i=1 |xiyi | ≤ ||x||p||y||q = ( Pn i=1 |xi | p ) 1 p ( Pn i=1 |xi | q ) 1 q 其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T，y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ C n，p, q 均为大于 1 的实数，且满足 1 p + 1 q = 1. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 5 / 70
2.1节向量范数 由于Cm上最著名的范数是p范数，也称赫尔德(holder)范数 。=宫xP,x=,8,xr∈C 这里1≤p<o0,其中最常用的是p=1,2时的p范数，即 M:=三X=空P 当p=心时.=刻 4口+40法··是QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月5/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 由于 C n 上最著名的范数是 p 范数，也称赫尔德（holder）范数. ∥x∥p = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p , x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n . 这里 1 ≤ p < ∞，其中最常用的是 p = 1, 2 时的 p 范数，即 ∥x∥1 = Pn i=1 |xi | ∥x∥2 = (Pn i=1 |xi | 2 ) 1 2 . 当 p = ∞ 时，∥x∥∞ = max 1≤i≤n |xi |. 关于 || · ||1 和 || · ||∞ 满足范数定义的三条是容易的，而要验证 || · ||p(1 < p < ∞) 是 C n 上的向量范数，则需要著名 holder 的不等式： Pn i=1 |xiyi | ≤ ||x||p||y||q = ( Pn i=1 |xi | p ) 1 p ( Pn i=1 |xi | q ) 1 q 其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T，y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ C n，p, q 均为大于 1 的实数，且满足 1 p + 1 q = 1. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 5 / 70
2.1节：向量范数 由于Cm上最著名的范数是p范数，也称赫尔德(holder)范数 。=宫x,x=6,,…,xr∈c 这里1≤p<o0,其中最常用的是p=1,2时的p范数，即 4,=含X=空P 当p=o时，‖=2， 关于川·1和‖·‖满足范数定义的三条是容易的，而要验证 ‖·‖p(1<p<oo)是C上的向量范数，则需要著名holder的不等式： 含≤IK。=(含P)全x9 口卡+①三·是定Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月5/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 由于 C n 上最著名的范数是 p 范数，也称赫尔德（holder）范数. ∥x∥p = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p , x = (x1, x2, · · · , xn) T ∈ C n . 这里 1 ≤ p < ∞，其中最常用的是 p = 1, 2 时的 p 范数，即 ∥x∥1 = Pn i=1 |xi | ∥x∥2 = (Pn i=1 |xi | 2 ) 1 2 . 当 p = ∞ 时，∥x∥∞ = max 1≤i≤n |xi |. 关于 || · ||1 和 || · ||∞ 满足范数定义的三条是容易的，而要验证 || · ||p(1 < p < ∞) 是 C n 上的向量范数，则需要著名 holder 的不等式： Pn i=1 |xiyi | ≤ ||x||p||y||q = (Pn i=1 |xi | p ) 1 p ( Pn i=1 |xi | q ) 1 q 其中 x = (x1, x2, · · · , xn) T，y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ C n，p, q 均为大于 1 的实数，且满足 1 p + 1 q = 1. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 5 / 70