2.1节：向量范数 定理2.1.1 (1)对任意1≤p<g及任意的x∈C有，g≤Illp (2)对任意的x∈C有，1imlp=lo 4口+4①，左·生·生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月7/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定理 2.1.1 (1) 对任意 1 ≤ p < q 及任意的 x ∈ C n 有，||x||q ≤ ||x||p： (2) 对任意的 x ∈ C n 有， lim p→∞ ||x||p = ||x||∞. 证明 (1) 略 (2) 设 ω = max 1≤i≤n |xi |，则 ∥x∥p = ( Pn k=1 xi ω p ω p ) 1 p = ω( Pn k=1 xi ω p ) 1 p . 由于 xi ω ≤ 1，因而 Pn i=1 xi ω ≥ 1，故 1 ≤ Pn i=1 xi ω p ≤ n，所以 1 ≤ ( Pn i=1 xi ω p ) 1 p ≤ n 1 p . 由 L’Hospital 法则可知， lim p→∞ n 1 p = 1，于是有 lim p→∞ ||x||p = ω = ||x||∞. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 7 / 70
2.1节：向量范数 定理2.1.1 (1)对任意1≤p<g及任意的x∈C”有，g≤Ilp: (2)对任意的x∈C有，1 im lIxllp=o: D→0 证明(1)略 (2)设w=maxx,则 1≤in 4,=(含1P=2 由于≤1，因而公≥1，故1≤1≤n.所以 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月7/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定理 2.1.1 (1) 对任意 1 ≤ p < q 及任意的 x ∈ C n 有，||x||q ≤ ||x||p： (2) 对任意的 x ∈ C n 有， lim p→∞ ||x||p = ||x||∞. 证明 (1) 略 (2) 设 ω = max 1≤i≤n |xi |，则 ∥x∥p = (Pn k=1 xi ω p ω p ) 1 p = ω( Pn k=1 xi ω p ) 1 p . 由于 xi ω ≤ 1，因而 Pn i=1 xi ω ≥ 1，故 1 ≤ Pn i=1 xi ω p ≤ n，所以 1 ≤ ( Pn i=1 xi ω p ) 1 p ≤ n 1 p . 由 L’Hospital 法则可知， lim p→∞ n 1 p = 1，于是有 lim p→∞ ||x||p = ω = ||x||∞. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 7 / 70
2.1节：向量范数 在实际应用中，常常利用已知范数构造出实用的新范数，下述定理就给 出一种最简单的构造方法 定理2.1.2 设‖‖是C上的范数，A是秩为n的m×n复矩阵，则由 NA(X)=IAx,x∈C所定义的实函数NA(x)是C上的范数 直接验证这样定义的实函数NA(x)满足范数的定义即可 。推论：设A是n阶正定的复矩阵，则由xA=VHAx,x∈C”定 义的实函数‖·川4是C”上的范数 口卡+①三·是定Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月8/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 在实际应用中，常常利用已知范数构造出实用的新范数，下述定理就给 出一种最简单的构造方法 定理 2.1.2 设 || · || 是 C n 上的范数，A 是秩为 n 的 m × n 复矩阵，则由 NA(x) = ||Ax||，x ∈ C n 所定义的实函数 NA(x) 是 C n 上的范数. 直接验证这样定义的实函数 NA(x) 满足范数的定义即可 1 推论：设 A 是 n 阶正定的复矩阵，则由 ||x||A = √ x HAx，x ∈ C n 定 义的实函数 || · ||A 是 C n 上的范数. || · ||A 是一种非常重要的向量范数，他在某些实际应用中常常是十 分方便的. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 8 / 70
2.1节：向量范数 在实际应用中，常常利用已知范数构造出实用的新范数，下述定理就给 出一种最简单的构造方法 定理2.1.2 设‖‖是C”上的范数，A是秩为n的m×n复矩阵，则由 NA(x)=IAx,x∈C所定义的实函数NA(x)是C上的范数 直接验证这样定义的实函数NA(x)满足范数的定义即可 。推论：设A是n阶正定的复矩阵，则由xA=VHAx,x∈C”定 义的实函数川·川A是C”上的范数 ‖·川4是一种非常重要的向量范数，他在某些实际应用中常常是十 分方便的. 口+4①·左·生生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月8/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 在实际应用中，常常利用已知范数构造出实用的新范数，下述定理就给 出一种最简单的构造方法 定理 2.1.2 设 || · || 是 C n 上的范数，A 是秩为 n 的 m × n 复矩阵，则由 NA(x) = ||Ax||，x ∈ C n 所定义的实函数 NA(x) 是 C n 上的范数. 直接验证这样定义的实函数 NA(x) 满足范数的定义即可 1 推论：设 A 是 n 阶正定的复矩阵，则由 ||x||A = √ x HAx，x ∈ C n 定 义的实函数 || · ||A 是 C n 上的范数. || · ||A 是一种非常重要的向量范数，他在某些实际应用中常常是十 分方便的. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 8 / 70
2.1节：向量范数 一般地，我们将赋范线性空间V中范数为1的向量的集合称为单位球 面，范数小于等于1的向量的集合称为单位球。 口+4①，，之·生生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月9/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 一般地，我们将赋范线性空间 V 中范数为 1 的向量的集合称为单位球 面，范数小于等于 1 的向量的集合称为单位球。 赋范线性空间 V 中的单位球与单位球面具有重要意义，因为在几何上， 他们相当于实数轴上的单位闭区间或其端点，相当于平面上的单位圆盘 或单位圆周，以及空间中的单位球或单位球面。因此它们都是有界闭集 （更精确地，是紧集）。 从数学分析课程中我们知道，连续函数在有界闭集上一定有最大值与最 小值。研究赋范线性空间 V 中的连续函数或变换（算子）的一个重要技 巧是设法将函数的定义域限制或转移到单位球或单位球面上。 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 9 / 70