1.1最小逼近函数的解法 g(x)=a0q0+a1+…+ann E圳=∑[f(x)-g(x i=0 E是关于a0,a1,lam的连续函数,且E≥0,所以一定 存在一组数a。a1y…,an使得E取极小值,只要满足 OE an=0(=0,1,…,m) ∑[ag(x)+aq(x)+…+ann(x)-f(x) ii=0 =2∑[an(x)+a(x)+…+an9n(x)-f(x1)]9/x) i=0 =0(j=0,1,…,m
E是关于a0 ,a1 ,…,am的连续函数，且E≥0，所以一定 存在一组数a0 ,a1 ,…,am使得E取极小值，只要满足 即 2 2 2 0 || || ( ) ( ) n i i i E f x g x = = = − 0 0 1 1 ( ) m m g x a a a = + + + 0 ( 0,1, , ) j E j m a = = 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0,1, , ) n i i m m i i i j n i i m m i i j i i a x a x a x f x a a x a x a x f x x j m = = + + + − = + + + − = = 1.1 最小逼近函数的解法
∑[a(x)+aq(x)+…+ann(x)-f(x)9/(x)=0 =0, 上式整理得 ∑q(x)9(x)a4+2q(x)7( +2%m(xi)p, (x;) am=2f(x; )0,(x, 上述方程组称为正规方程组或法方程组。 只要求解满足上述方程组的a,a1…,am即可
上式整理得 只要求解满足上述方程组的a0 ,a1 ,…,am即可。 0 0 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1, , ) n n i j i i j i i i n n m i j i m i j i i i x x a x x a x x a f x x j m = = = = + + + = = 0 0 1 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0,1, , ) n i i m m i i j i i a x a x a x f x x j m = + + + − = = 上述方程组称为正规方程组或法方程组
定义:设函数组{q(x),g(x)…,gn(x)}中的每个函数都在区间 1连续,如果对任意选取的不全为零的数an,1,…,am 函数g(x)=a9+a91+…+mn9mn在上具有的零点个数 都不多于m个,则称该函数组为切比雪夫组或称该函数 组满足Har条件。 定理81如果函数组{q(x)q(x)…,n(x在包含点集 x(=0,1,…,m)的区间上满足Harr条件,则法方程 组的系数矩阵非奇异,即最小平方逼近有唯一解 05195m
定义：设函数组 中的每个函数都在区间 I上连续，如果对任意选取的不全为零的数 函数 在I上具有的零点个数 都不多于m个，则称该函数组为切比雪夫组或称该函数 组满足Harr条件。 0 1 ( ), ( ), , ( ) x x x m 0 1 , , , , m a a a 0 0 1 1 ( ) m m g x a a a = + + + 定理8.1 如果函数组 在包含点集 的区间上满足Harr条件，则法方程 组的系数矩阵非奇异，即最小平方逼近有唯一解 0 1 ( ), ( ), , ( ) x x x m ( 0,1, , ) i x i m = 0 1 , , , . m a a a
显然,当q(x)=x(=0,…,m时,函数组(,x,x2…,x" 满足Har条长件。此时,最小平方逼近多项式为 Pn(x)=ao+a,x+a2x'+.+anx 相应的法方程组为 (n+1)a+∑x吗+∑x吗+…+∑xa=∑(x) i=0 i=0 i=0 ∑xa+∑+∑x吗2+…+∑x1|an=∑xf(x) ∑ ∑xa+∑x|吗2+…+∑xan=∑增f(x)
显然，当 时，函数组 满足Harr条件。 ( ) ( 0,1, , ) j j x x j m = = 2 1, , , , m x x x 此时，最小平方逼近多项式为 2 0 1 2 ( ) m P x a a x a x a x m m = + + + + 相应的法方程组为 ( ) 2 0 1 2 0 0 0 0 2 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 ( ) ( ) n n n n m i i i m i i i i i n n n n n m i i i i m i i i i i i i n n m m i i i i n a x a x a x a f x x a x a x a x a x f x x a x a x = = = = + = = = = = + = = + + + + + = + + + + = + + 2 2 2 0 0 0 ( ) n n n m m m i i m i i i i i a x a x f x + = = = + + =