的时间范围内逐渐展现出来。这一时间范围一般来说并不是很长(几小时到几 天),但是对于紧张激烈的期货市场来说,有可能产生一定的套利机会。从价格 波动的表现上来看,这一现象的反应就是“动量效应”:价格在一定时间范围内 倾向于维持之前的走势。据此理论,追涨杀跌有很大可能获取利润。 (一)模型设定 本文在理论上的推导完善和改进 Martin和Bana(2012)中的模型,拓展了 模型的适用范围。我们基于对交易风险水平的考虑,全部使用经过单位风险调整 的统计量进行处理,并且假定:(1)观测周期,交易在等时间间隔t的若干离散 的时间点进行,例如每2个小时进行一次观测,并且在每次观测同时改变头寸 Δ的持有量进行投资。我们用角标n代表第n次观测的相应结果。需要注意的 是,不同观测周期t的选取在实际应用中代表了不同时间尺度的投资策略。(2) 持有时间7:对于第n个观测周期金融产品的收益为△n(-),在持有时间为 T时,按照量化投资策略所能够获得的收益为:z=∑A,(Xm-Xn),与观测周 期同样,持有时间T同样代表了投资的时间尺度。 基于以上考量,对于资产X在观测周期n和n+1之间的价格波动,用表示第 n个时间点的波动率,定义单位风险投资回报Lm为:Cm3,,少我们使用 单位风险统计量的目的是为了让L标准化,不再具有方差的变化维度。进一步, 为了衡量金融产品价格的时间迟滞效应(动量效应),在公式(1.1)中,我们定义 其动量指标V为金融产品单位风险价格变化的线性组合和平均 n=∑a
6 的时间范围内逐渐展现出来。这一时间范围一般来说并不是很长（几小时到几 天），但是对于紧张激烈的期货市场来说，有可能产生一定的套利机会。从价格 波动的表现上来看，这一现象的反应就是“动量效应”：价格在一定时间范围内 倾向于维持之前的走势。据此理论，追涨杀跌有很大可能获取利润。 (一) 模型设定 本文在理论上的推导完善和改进 Martin 和 Bana（2012）中的模型，拓展了 模型的适用范围。我们基于对交易风险水平的考虑，全部使用经过单位风险调整 的统计量进行处理，并且假定：（1）观测周期，交易在等时间间隔 t 的若干离散 的时间点进行，例如每 2 个小时进行一次观测，并且在每次观测同时改变头寸 Δ 的持有量进行投资。我们用角标 n 代表第 n 次观测的相应结果。需要注意的 是，不同观测周期 t 的选取在实际应用中代表了不同时间尺度的投资策略。（2） 持有时间 T：对于第 n 个观测周期金融产品的收益为 Δn(Xn+1-Xn)，在持有时间为 T 时，按照量化投资策略所能够获得的收益为： / 1 0 ( ) T t nn n n π X X + = =∆ − ∑ ，与观测周 期同样，持有时间 T 同样代表了投资的时间尺度。 基于以上考量，对于资产 X 在观测周期 n 和 n+1 之间的价格波动，用表示第 n 个时间点的波动率,定义单位风险投资回报 Un+1为： 1 1 ˆ n n n n X X U σ + + − = 。我们使用 单位风险统计量的目的是为了让 Un标准化，不再具有方差的变化维度。进一步， 为了衡量金融产品价格的时间迟滞效应（动量效应），在公式(1.1)中，我们定义 其动量指标 Vn为金融产品单位风险价格变化的线性组合和平均： 0 n i ni i V aU ∞ − = = ∑ (1.1)
这里使用单位风险价格的原因是,对于波动率很大的时间点,其价格的变化 其实并不能够良好的反映出价格趋势的变化,而具有强烈的随机性。因而通过波 动率进行标准化处理可以使得对于动量的估计更加准确合理。动量指标的大小代 表了金融产品价格变化的趋势,因而对于量化投资决定持有头寸的多少具有重要 意义。另外,第n-i时刻的单位风险价格波动会对于第n时刻产生权重为a的 影响。方程所依据的金融内涵是:距离当前时间点越久远的价格波动对于当前时 间点的影响越小,并且一般认为服从指数分布,从而a对应于指数移动平均。 而还有一种解释认为当前的价格波动并不能够瞬间影响到动量,而是逐渐的体现 出来。这一思路对应于双重指数滑动平均。 假如市场确实存在动量效应和价格波动的时间正自相关性,那么正的动量指 标就代表了下一阶段价格有更大的可能性和期望会上升,负的动量指标就代表了 价格有更大的可能会下跌。 与此同时,本文假设,动量指标的变化来源于一系列环境因素中的隐变量的 影响,例如汇率、利率的变化等,由于影响种类繁多,而且有些隐变量(例如政 策的推出、大事件的发生)难以量化,这些隐变量的作用难以全部精确确定,用 ln表示,基于此假设,本文采用公式(1.2)代表的模型: y l为第nH1个时间点金融产品受到环境中隐变量的影响。动量指标V和V 是价格变化趋势的表征量。本文认为下一时间的动量指标由当前的动量指标受到 隐变量的线性影响所得到。如果能够对于各个隐变量的影响有一定的认识,那么 就能够相应的对于动量指标的变化进行预测,从而刻画出价格变化的趋势,并且 进一步实现价格预测
7 这里使用单位风险价格的原因是，对于波动率很大的时间点，其价格的变化 其实并不能够良好的反映出价格趋势的变化，而具有强烈的随机性。因而通过波 动率进行标准化处理可以使得对于动量的估计更加准确合理。动量指标的大小代 表了金融产品价格变化的趋势，因而对于量化投资决定持有头寸的多少具有重要 意义。另外，第 n-i 时刻的单位风险价格波动会对于第 n 时刻产生权重为 ai的 影响。方程所依据的金融内涵是：距离当前时间点越久远的价格波动对于当前时 间点的影响越小，并且一般认为服从指数分布，从而 ai 对应于指数移动平均。 而还有一种解释认为当前的价格波动并不能够瞬间影响到动量，而是逐渐的体现 出来。这一思路对应于双重指数滑动平均。 假如市场确实存在动量效应和价格波动的时间正自相关性，那么正的动量指 标就代表了下一阶段价格有更大的可能性和期望会上升，负的动量指标就代表了 价格有更大的可能会下跌。 与此同时，本文假设，动量指标的变化来源于一系列环境因素中的隐变量的 影响，例如汇率、利率的变化等，由于影响种类繁多，而且有些隐变量（例如政 策的推出、大事件的发生）难以量化，这些隐变量的作用难以全部精确确定，用 In+1表示，基于此假设，本文采用公式(1.2)代表的模型： V VI n nn + + 1 1 = + (1.2) In+1为第 n+1 个时间点金融产品受到环境中隐变量的影响。动量指标 Vn和 Vn+1 是价格变化趋势的表征量。本文认为下一时间的动量指标由当前的动量指标受到 隐变量的线性影响所得到。如果能够对于各个隐变量的影响有一定的认识，那么 就能够相应的对于动量指标的变化进行预测，从而刻画出价格变化的趋势，并且 进一步实现价格预测
(二)参数估计 Vn表达式的意义在于,将动量的变化与实际影响的因子结合起来,认为动 量的变化实际是由于一系列隐变量的联合作用,而信息的不完整和不可知性导致 了这些隐变量不能被全部精确建模,很大程度上只能假设为随机干扰。这里相邻 两观测周期动量指标V和Vn的关系中,实际含有下一阶段价格变化,因而可以 通过对于其进一步计算,对于价格的变化进行理论预测。从该假设出发,得到: ln=an-∑(an-ann,可以得到关于未来价格波动的预测 (a 型,也即下一时间的单位风险价格变化由两部分决定 首先是价格变化的趋势:如果没有外界影响,这一趋势应当保持不变,这一趋势 由之前时刻单位风险价格变化的线性组合所确定;另一部分是隐变量影响la1s 这两方面的共同作用的线性累加,确定出新的价格变化。假如本文定义: a’F(aa)/a,以及。=l//a。那么方程就变成了 Un+1=2a, Umn-i+I (1.3) 方程(1.3)表明,未来的价格波动取决于之前一定时间的价格波动的线性组 合以及当前时段的市场消息影响。基于这一结论,价格下一步的变化来源于Im 的随机性 假如对于隐变量的影响。毫无头绪那么就只能假定其服从均值为0的分 布,根据动量指标来厘定投资方案。这样的缺陷在于,隐变量的波动会带来额外 的风险,甚至严重影晌响价格的准确预估。事实上,我们对于价格的隐变量影响 。其实并不是一无所知,比如,汇率、利率会对价格产生影响是可以通过实
8 (二) 参数估计 Vn+1 表达式的意义在于，将动量的变化与实际影响的因子结合起来，认为动 量的变化实际是由于一系列隐变量的联合作用，而信息的不完整和不可知性导致 了这些隐变量不能被全部精确建模，很大程度上只能假设为随机干扰。这里相邻 两观测周期动量指标 Vn和 Vn+1的关系中，实际含有下一阶段价格变化，因而可以 通过对于其进一步计算，对于价格的变化进行理论预测。从该假设出发，得到： 1 01 1 0 ( ) n n i i ni i I aU a a U ∞ + + + − = = −− ∑ ，可以得到关于未来价格波动的预测： 1 0 1 1 0 0 ( ) i i ni i n n aaU I U a a ∞ + − = + + + − = ∑ ，也即下一时间的单位风险价格变化由两部分决定。 首先是价格变化的趋势：如果没有外界影响，这一趋势应当保持不变，这一趋势 由之前时刻单位风险价格变化的线性组合所确定；另一部分是隐变量影响 In+1。 这两方面的共同作用的线性累加，确定出新的价格变化。假如本文定义： a’i=(ai-ai+1)/a0，以及 I’n=In/a0。那么方程就变成了： ' 1 1 0 ' n i ni n i U aU I ∞ + −+ = = + ∑ (1.3) 方程(1.3)表明，未来的价格波动取决于之前一定时间的价格波动的线性组 合以及当前时段的市场消息影响。基于这一结论，价格下一步的变化来源于 I’n+1 的随机性。 假如对于隐变量的影响 I’n+1毫无头绪那么就只能假定其服从均值为 0 的分 布，根据动量指标来厘定投资方案。这样的缺陷在于，隐变量的波动会带来额外 的风险，甚至严重影响价格的准确预估。事实上，我们对于价格的隐变量影响 I’n+1 其实并不是一无所知，比如，汇率、利率会对价格产生影响是可以通过实
际市场数据相对精确的建模的,那么,如果在投资过程中及早将这些影响考虑进 去就能够进一步提高决策的准确性。基于此原理,本文对。进行展开,认为 各个隐变量的影响服从线性性质: ln=∑月P+N 方程(1.4)中P为第j个已知隐变量的影响,本文认为全部隐变量的影响是 它们的线性累加,线性系数B可以通过数据拟合得到,具体来说,针对某一只 期货(或者股票),通过多元回归方法(其中M是残差),利用一定时间内(例 如100个观测间隔内)的P、、和a,可以确定上述方程中的各个线性系数B 从而对于之后的价格波动利用新的P进行预测。这样,假如准备投资一个金融 产品,只需要对其进行一定时间的观测,一方面计算出动量值,另一方面根据动 量预测的差值回归计算出各个因子对于价格波动的影响。在之后的投资过程中, 就可以利用计算出的影响系数进行预测:∑P=Um-∑aUn-Nn。而同时 也需要注意到,无法对于全部市场信息进行精确建模,存在大量的信息无法及时 获取和精确衡量。故而,与已知信息相对的,价格还受到不可知因素M的影响 从而导致价格波动的不确定性 基于这些假设,价格的变化可以表示为:Um=∑BP+∑a"Un+Nm。也 就是说,新的价格波动由过去的价格波动的组合(动量效应)、已知因素影响的 线性叠加和未知因素的影响来共同决定。其中,动量效应和已知因素的影响可以 通过观测和计算得到,它们可以被用来进行投资策略的厘定 关于线性系数a’的选取,本文考虑两种不同方案:单重指数移动平均和双 重指数移动平均。对于参数为p的单重指数移动平均,定义:a’:=(1-)p,也
9 际市场数据相对精确的建模的，那么，如果在投资过程中及早将这些影响考虑进 去就能够进一步提高决策的准确性。基于此原理，本文对 I’n+1 进行展开,认为 各个隐变量的影响服从线性性质： ' 1 1 K n jj n j I PN + β = = + ∑ (1.4) 方程(1.4)中 Pj为第 j 个已知隐变量的影响，本文认为全部隐变量的影响是 它们的线性累加，线性系数 βj可以通过数据拟合得到，具体来说，针对某一只 期货（或者股票），通过多元回归方法（其中 Nn 是残差），利用一定时间内（例 如 100 个观测间隔内）的 Pj、Xi、和 ai，可以确定上述方程中的各个线性系数 βj， 从而对于之后的价格波动利用新的 Pj 进行预测。这样，假如准备投资一个金融 产品，只需要对其进行一定时间的观测，一方面计算出动量值，另一方面根据动 量预测的差值回归计算出各个因子对于价格波动的影响。在之后的投资过程中， 就可以利用计算出的影响系数进行预测： 1 1 0 ' K j j n i ni n j i β P U aU N ∞ + − = = ∑ ∑ =− − 。而同时 也需要注意到，无法对于全部市场信息进行精确建模，存在大量的信息无法及时 获取和精确衡量。故而，与已知信息相对的，价格还受到不可知因素 Nn的影响， 从而导致价格波动的不确定性。 基于这些假设，价格的变化可以表示为： 1 1 1 0 ' K n j j i ni n j i U P aU N β ∞ + − + = = =+ + ∑ ∑ 。也 就是说，新的价格波动由过去的价格波动的组合（动量效应）、已知因素影响的 线性叠加和未知因素的影响来共同决定。其中，动量效应和已知因素的影响可以 通过观测和计算得到，它们可以被用来进行投资策略的厘定。 关于线性系数 a’i的选取，本文考虑两种不同方案：单重指数移动平均和双 重指数移动平均。对于参数为 p 的单重指数移动平均，定义：a’i=(1-p)p i ，也
即a呈指数形式衰减。同时依照一般习惯,定义指数移动平均的特征长度 №=(1+p)/(1-),它可以用来衡量动量对于历史数据的参考长度。在单重指数移 动平均下,本文有在理论上非常统一的结果,a’;与a具有同样的形式。事实上, 假定a=(1-p)p则:a'=(a-a)/ah=(1-p)p=a 从形式上来看,当价格波动对于动量的影响为指数性衰减时,在投资策略中 相应时段的权重也呈现出指数性衰减。这在实际应用中也很容易理解。消息一经 放出,就会有大量投资者获取这一信息,而到当前时段越久远的消息,影响就越 小 另一方面,与 Mifare和Rall's(2007)的工作相对应,本文也尝试使用双 重指数移动平均方法。也就是说,在投资策略中,取a为两次指数移动平滑之 后的结果。从计算上来看,假定两次指数移动平滑的衰减强度为、P,此时, a'=(1-n)(1-)(1p2)/(m-)。 同样的,定义特征长度:M=(1+)/(1-n)、M=(1+m2)/1-m2)。 对于这里的a’,可以看到,其最大值并不是在i=0时取到,而是在 i=logw(loga)-1附近取到。这样也就是假定,之前当前时刻对于动量的影响 不是最高。而是认为之前某一时刻对于动量的影响最大。 这两种方法的区别在于,单重指数移动平均下,当前时间占据最大的权重, 而时间越久远,权重就越低。双重指数平均则不然,当前时间不再权重最高,而 是之前某时刻具有最大的权重:认为当前时刻所实际对应的动量不能短时间内体 现出来,而是有一定的“延迟”。在之后的实验过程中,本文对于两种方式都进 行了尝试,得到了相似的结果
10 即 ai 呈指数形式衰减。同时依照一般习惯，定义指数移动平均的特征长度 Np=(1+p)/(1-p)，它可以用来衡量动量对于历史数据的参考长度。在单重指数移 动平均下，本文有在理论上非常统一的结果，a’i与 ai具有同样的形式。事实上， 假定 ai=(1-p)p i 则：a’i=(ai-ai+1)/a0=(1-p)p i =ai。 从形式上来看，当价格波动对于动量的影响为指数性衰减时，在投资策略中 相应时段的权重也呈现出指数性衰减。这在实际应用中也很容易理解。消息一经 放出，就会有大量投资者获取这一信息，而到当前时段越久远的消息，影响就越 小。 另一方面，与 Miffre 和 Rallis（2007）的工作相对应，本文也尝试使用双 重指数移动平均方法。也就是说，在投资策略中，取 ai 为两次指数移动平滑之 后的结果。从计算上来看，假定两次指数移动平滑的衰减强度为 p1、p2，此时， a’i=(1-p1)(1-p2)(p j 1-p j 2)/(p1-p2)。 同样的，定义特征长度：Np1=(1+p1)/(1-p1)、Np2=(1+p2)/(1-p2)。 对于这里的 a’i，可以看到，其最大值并不是在 i=0 时取到，而是在 i=logp1/p2(logp2p1)-1 附近取到。这样也就是假定，之前当前时刻对于动量的影响 不是最高。而是认为之前某一时刻对于动量的影响最大。 这两种方法的区别在于，单重指数移动平均下，当前时间占据最大的权重， 而时间越久远，权重就越低。双重指数平均则不然，当前时间不再权重最高，而 是之前某时刻具有最大的权重：认为当前时刻所实际对应的动量不能短时间内体 现出来，而是有一定的“延迟”。在之后的实验过程中，本文对于两种方式都进 行了尝试，得到了相似的结果